2020高中数学 第二章 推理与证明 第1节 合情推理与演绎推理习题 理 苏教版选修2-2

2020高中数学 第二章 推理与证明 第1节 合情推理与演绎推理习题 理 苏教版选修2-2

第1节合情推理与演绎推理 ‎（答题时间：60分钟）‎ ‎1. 下列推理是归纳推理的是（ ）‎ A. A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝‎2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B. 由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C. 由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＝1的面积S＝πab D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 ‎2. 设n为正整数，f（n）＝1＋＋＋…＋，经计算得f（2）＝，f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，f（32）>，观察上述结果，可推测出的一般结论为（ ）‎ A. f（2n）> B. f（n2）≥‎ C. f（2n）≥ D. 以上都不对 ‎3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎4. 若点P是正四面体A－BCD的面BCD上的一点，且P到另外三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则（ ）‎ A. h>h1＋h2＋h3 B. h＝h1＋h2＋h3‎ C. h0，且a≠1）的图象与y＝x的图象有公共点，证明：f（x）＝ax∈M；‎ ‎ （3）若函数f（x）＝sinkx∈M，求实数k的取值范围。‎ 4‎ ‎1. B 解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B。‎ ‎2. C 解析：f（2）＝，f（4）＝f（22）> ，f（8）＝f（23）> ，f（16）＝f（24）> ，f（32）＝f（25）>。由此可推知f（2n）≥。故选C。‎ ‎3. A 解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A。‎ ‎4. B 解析：由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且P到另外两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等可以得到h＝h1＋h2。于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B。‎ ‎5. C 解析：求解此题，如果按照前三个图所示的规律继续叠放，叠放至第七个图形后再去数图中小正方体木块数，自然也可以得出结论，但显然是太麻烦了，故仍应采取归纳推理的方法求解。‎ 解：图1是1个小正方体木块，‎ 图2是2＋1×4个小正方体木块，‎ 图3是3＋（1＋2）×4个小正方体木块，‎ 按照前三个图所反映出来的规律，由归纳推理可知，第七个叠放的图形中小正方体木块的数目应是7＋（1＋2＋3＋…＋6）×4＝91。选C。‎ ‎6. B 解析：因下行奇数是首项为1，公差为4的等差数列。若2009在下行，则2009＝1＋（n－1）×4⇒n∈N*，故2009在下行，又因为下行奇数的箭头为，故选B。‎ ‎7. 7749965 解析：求解此题，如果按照排序规律写到分数后，再去数它所在的位置序号，那简直是不可想象的麻烦事情。因此必须考虑如何利用归纳推理的方法来求解。所以求解此题的关键就是要从给出的这些分数中找出它们依次出现的特点。‎ 解：从所给有理数的排序规律可以发现，它们是由分子与分母的和依次为2，3，4，…的分数段“拼”成的。‎ 因为分数的分子、分母的和为3938，所以由归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数。‎ 故序号为（1＋2＋…＋3936）＋1949＝7749965。‎ ‎8. 13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）‎ 解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2＝152。‎ ‎9. 509 解析：先求出这4个图形中的线段条数，然后归纳出数字的规律，再利用这个规律求第8个图形中的线段条数。‎ 解：图形①～④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中的线段条数应为28＋1－3＝509。‎ ‎10. 解：（1）填表如下：‎ 4‎ 顶点数 边数 区域数 ‎（a）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（b）‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎（c）‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎（d）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎（2）由上表可以看出，所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：‎ ‎4＋3－6＝1‎ ‎8＋5－12＝1‎ ‎6＋4－9＝1‎ ‎10＋6－15＝1‎ 由此，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：‎ 顶点数＋区域数－边数＝1。‎ ‎（3）由（2）中所得出的关系，可知所求平面图的边数为：‎ 边数＝顶点数＋区域数－1＝2008＋2008－1＝4015。‎ ‎ 11. 解：（1）对于非零常数T，f（x＋T）＝x＋T，Tf（x）＝Tx。因为对任意x∈R，x＋T＝Tx不能恒成立，所以f（x）＝‎ ‎（2）因为函数f（x）＝ax（a>0且a≠1）的图象与函数y＝x的图象有公共点，‎ 所以方程组：有解，消去y得ax＝x，‎ 显然x＝0不是方程ax＝x的解，所以存在非零常数T，使aT＝T。 ‎ 于是对于f（x）＝ax有，故f（x）＝ax∈M。‎ ‎（3）当k＝0时，f（x）＝0，显然f（x）＝0∈M。‎ 当k≠0时，因为f（x）＝sinkx∈M，所以存在非零常数T，‎ 对任意x∈R，有 f（x＋T）＝T f（x）成立，即sin（kx＋kT）＝Tsinkx 。‎ 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，‎ 于是sinkx ∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，‎ 故要使sin（kx＋kT）＝Tsinkx。成立，只有T＝，‎ 当T＝1时，sin（kx＋k）＝sinkx 成立，则k＝‎2mπ，m∈Z。‎ 当T＝－1时，sin（kx－k）＝－sinkx 成立，‎ 即sin（kx－k＋π）＝sinkx成立，‎ 则－k＋π＝‎2mπ，m∈Z，即k＝－2（m－1）π，m∈Z。 ‎ 综合得，实数k的取值范围是{k|k＝mπ，m∈Z}。‎ 4‎