2020高中数学 第三章 函数的应用 阶段复习课 第4课 函数的应用章末综合测评5 新人教A版必修1
章末综合测评(三) 函数的应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝则该函数的零点的个数为( )
【导学号：37102408】
A．1 B．2
C．3 D．4
C [当x<0时，令x(x＋4)＝0，解得x＝－4；当x≥0时，令x(x－4)＝0，解得x＝0或4.综上，该函数的零点有3个．]
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(2，e) D．(3,4)
A [f(1)＝ln 2－2＝ln
ln 1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1,2)．]
3．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
【导学号：37102409】
A B C D
C [二分法求函数零点时，其零点左右两侧的函数值符号相反，故选C.]
4．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
C [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴初始区间可选为[1,2]．]
5．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)( )
【导学号：37102410】
A．0.25 B．0.375
C．0.635 D．0.825
C [令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0.
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，
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∵0.75－0.625＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
6．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图33所示，则下列说法正确的是( )
图33
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
D [由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.]
7．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
【导学号：37102411】
A．0 B．1
C．2 D．3
B [令f(x)＝0，可得x＝x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x和指数函数y＝x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．]
8．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图34所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的( )
图34
A B C D
B [由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．]
9．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则( )
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【导学号：37102412】
A．k＝0 B．k＞0
C．0≤k＜1 D．k＜0
D [在同一平面直角坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k的图象，如图所示．若f(x)有两个零点，则必有－k＞0，即k＜0.
]
10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α0，而00.]
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
所以解得
所以f(x)＝
当x>0时，方程为x＝2，此时方程f(x)＝x只有1个解；
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，此时方程f(x)＝x有2个解．所以方程f(x)＝x共有3个解．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
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13．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.
【导学号：37102414】
3 [函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.]
14．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
[令f(x)＝ln x－2＋x，则f(1)＝ln 1－2＋1<0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，
f＝ln －2＋＝ln －＝ln －ln ＝ln ＝ln 1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点.
【导学号：37102416】
[解] f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又m>1，所以f(m)<0，
所以f(0)·f(m)<0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
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18．(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消费费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f(x)的解析式．
[解] 设隔热层厚度为x cm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
19．(本小题满分12分)如图35，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．
图35
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象.
【导学号：37102417】
[解] (1)当0≤t≤2时，
f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝－t·t＝8－t2，
当20)，
∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，
∴a＝2.
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝22－，开口向上，对称轴为x＝.
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①当t＋1<，即t<时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8.
②当t>时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝2t2－10t.
③当t≤≤t＋1，即≤t≤时，f(x)在对称轴处取得最小值，∴g(t)＝f＝－.
综上所述，g(t)＝
22．(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解] (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
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