2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测7 第7章 立体几何

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2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测7 第7章 立体几何

单元评估检测(七) 第7章 立体几何 ‎(120分钟 150分)‎ ‎(对应学生用书第294页)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目:墙来了!选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池.类似地,有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞(如图71),则该几何体为(  )‎ 图71‎ ‎[答案] A ‎2.(2018·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图72所示,主视图与左视图是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形(单位:cm),则此几何体的侧面积是(  )‎ ‎【导学号:79140426】‎ A.2 cm2 B.4 cm2‎ C.8 cm2 D.14 cm2‎ ‎[答案] C ‎  ‎ 图72        图73‎ ‎3.若三棱锥的三视图如图73所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A.80 B.40 ‎ C. D. ‎[答案] D ‎4.(2017·泉州模拟)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,以下命题正确的是(  )‎ A.若l∥α,α∥β,则l∥β B.若l∥α,α⊥β,则l⊥β C.若l⊥α,α⊥β,则l∥β D.若l⊥α,α∥β,则l⊥β ‎[答案] D ‎5.正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是(  )‎ A.BC∥平面PDF B.平面PDF⊥平面ABC C.DF⊥平面PAE D.平面PAE⊥平面ABC ‎[答案] B ‎6.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎7.如图74,四面体ABCD中,AB=DC=1,BD=,AD=BC=,二面角ABDC的平面角的大小为60°,E,F分别是BC,AD的中点,则异面直线EF与AC所成的角的余弦值是(  )‎ 图74‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎8.如图75,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论错误的是(  )‎ 图75‎ A.直线BD1与直线B1C所成的角为 B.直线B1C与直线A1C1所成的角为 C.线段BD1在平面AB1C内的射影是一个点 D.线段BD1恰被平面AB1C平分 ‎[答案] D ‎9.如图76,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M的正方形ABCD内的轨迹的长度为(  )‎ 图76‎ A. B.2 ‎ C.π D. ‎[答案] A ‎10.棱长为4的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为(  ) ‎ ‎【导学号:79140427】‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎11.(2017·南阳模拟)如图77是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )‎ 图77‎ A.6+ B.8+ C.4+ D.4+ ‎[答案] C ‎12.下列命题中错误的是(  )‎ A.如果α⊥β,那么α内一定有直线平行于平面β B.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β C.如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ ‎[答案] B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为________.‎ ‎[答案] 88‎ ‎14.(2017·运城模拟)如图78,三棱柱ABCA1B1C1的体积为V1,四棱锥ABCC1B1的体积为V2,则=________.‎ 图78‎ ‎[答案]  ‎15.如图79,矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中正确的是________.(填序号)‎ 图79‎ ‎①BM是定值;‎ ‎②点M在某个球面上运动;‎ ‎③存在某个位置,使DE⊥A1C;‎ ‎④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.‎ ‎[答案] ①②④‎ ‎16.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=且λ>0,则λ=________. ‎ ‎【导学号:79140428】‎ ‎[答案] 3‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)(2018·南昌模拟)如图710所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为2 m,高为 m,则制造这个塔顶需要多少面积的铁板?‎ 图710‎ ‎[解] 制造这个塔顶需要8 m2的铁板.‎ ‎18.(本小题满分12分)(2017·长沙模拟)如图711,在三棱锥PABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.‎ 图711‎ ‎(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;‎ ‎(2)若PA=1,AB=2,BC=,在直线AC上是否存在一点D,使得直线BD与平面PBC所成角为30°?若存在,求出CD的长;若不存在,说明理由.‎ ‎[解] (1)略 (2)存在,CD=.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图712,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,CA=CB,D,E,F分别为AB,A1D,A1C的中点,点G在AA1上,且A1D⊥EG.‎ 图712‎ ‎(1)求证:CD∥平面EFG;‎ ‎(2)求证:A1D⊥平面EFG.‎ ‎[解] 略 ‎20.(本小题满分12分) (2017·江西五市三联)如图713,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=AP=2BC=2,M是棱PD上的一点,=λ(0<λ<1).‎ 图713‎ ‎(1)若λ=,求证:PB∥平面MAC;‎ ‎(2)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,二面角DACM的余弦值为,求λ的值.‎ ‎[解] (1)略 (2).‎ ‎21.(本小题满分12分)(2017·新乡模拟)如图714(1),在三角形PCD中,AB为其中位线,且2BD=PC,若沿AB将三角形PAB折起,使∠PAD=‎ θ,构成四棱锥PABCD,且==2,如图714(2).‎ 图714‎ ‎(1)求证:平面BEF⊥平面PAB;‎ ‎(2)当异面直线BF与PA所成的角为60°时,求折起的角度θ. ‎ ‎【导学号:79140429】‎ ‎[解] (1)因为2BD=PC,所以∠PDC=90°,‎ 因为AB∥CD,且==2,所以E为CD的中点,F为PC的中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD,BE=AD,‎ 因为BA⊥PA,BA⊥AD,且PA∩AD=A,所以BA⊥平面PAD,‎ 因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,又因为PD平面PAD,AD平面PAD,‎ 所以CD⊥PD且CD⊥AD,又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.‎ 因为在平面ABCD中,BE∥AD,‎ 于是CD⊥BE,‎ 因为FE∩BE=E,FE平面BEF,BE平面BEF,所以CD⊥平面BEF,‎ 又因为CD∥AB,AB在平面PAB内,所以平面BEF⊥平面PAB.‎ ‎(2)因为∠PAD=θ,取PD的中点G,连接FG,AG,所以FG∥CD,FG=CD,又AB∥CD,AB=CD,‎ 所以FG∥AB,FG=AB,从而四边形ABFG为平行四边形,所以BF∥AG,所以BF与PA所成的角即为AG与PA所成的角,即∠PAG=60°,因为PA=AD,G为PD中点,所以AG⊥PD,∠APG=30°,所以∠PDA=30°,所以∠PAD=180°-30°-30°=120°.故折起的角度为120°.‎ ‎22.(本小题满分12分)(2018·周口模拟)如图715,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.‎ 图715‎ ‎(1)当点M是EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;‎ ‎(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥MBDE的体积.‎ ‎[解] (1)取ED的中点N,‎ 连接MN,AN,‎ 又因为点M是EC的中点,‎ 所以MN∥DC,‎ MN=DC,‎ 而AB∥DC,AB=DC,‎ 所以MNAB,‎ 所以四边形ABMN是平行四边形,‎ 所以BM∥AN,‎ 而BM⃘平面ADEF,AN平面ADEF,‎ 所以BM∥平面ADEF.‎ ‎(2)取CD的中点O,过点O作OP⊥DM,连接BP,BO,‎ 因为AB∥CD,AB=CD=2,‎ 所以四边形ABOD是平行四边形,‎ 因为AD⊥DC,‎ 所以四边形ABOD是矩形,‎ 所以BO⊥CD,‎ 因为正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ED⊥AD,‎ 所以ED⊥平面ADCB,‎ 所以平面CDE⊥平面ADCB,‎ 所以BO⊥平面CDE,所以BP⊥DM,‎ 所以∠OPB是平面BDM与平面DCE(即平面ABF)所成锐二面角,‎ 因为cos∠OPB=,所以sin∠OPB=,‎ 所以=,解得BP=.‎ 所以OP=BPcos∠OPB=,所以sin∠MDC==,‎ 而sin∠ECD==,‎ 所以∠MDC=∠ECD,‎ 所以DM=MC,同理DM=EM,所以M为EC的中点,‎ 所以S△DEM=S△CDE=2,‎ 因为AD⊥CD,AD⊥DE,‎ 且DE与CD相交于点D,‎ 所以AD⊥平面CDE,因为AB∥CD,‎ 所以三棱锥BDME的高=AD=2,‎ 所以VMBDE=VBDEM=S△DEM·AD=.‎
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