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文档介绍
2012年数学南通市学科基地密卷(一)
2012届南通市数学学科基地密卷(一) 一、填空题 1、执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲ . While <10 End While Print “” 2、,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ▲ . 3、已知,若函数的最小正周期是2, 则 ▲ . 4、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 ▲ . 5、已知函数,,则的单调减区间是 ▲ . 6、在数轴上区间内,任取三个点,则它们的坐标满足不等式: 的概率为 ▲ . 7、P为抛物线上任意一点,P在轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM 长度之和的最小值为: ▲ . 8、定义在上满足:,当时,=, 则= ▲ . 9、过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为, 记,则当最小时 ▲ . 10、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由整数的倒数组成的,第行有个 数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如:…,则第行第3个数字是 ▲ . 11、已知正方形的坐标分别是,,,,动点M满足: 则 ▲ . 12、“”是“对正实数,”的充要条件,则实数 ▲ . 13、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列正确命题序号是 ▲ . (1)若m∥,n∥,则m∥n, (2)若则 (3)若,且,则;(4)若,,则 14、已知全集,集合,则中最 大的元素是 ▲ . 二、解答题 15、已知数列满足:. (Ⅰ)求证:使; (Ⅱ)求的末位数字. 16、 在如图的多面体中,⊥平面,,,, ,,,是的中点. (Ⅰ) 求证:平面; (Ⅱ) 求证:; (Ⅲ)求多面体的体积. 17、 已知双曲线的两焦点为,为动点,若. (Ⅰ)求动点的轨迹方程; (Ⅱ)若,设直线过点,且与轨迹交于、两点,直线与交于点.试问:当直线在变化时,点是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条定直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由. 18、 如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3。点C为上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等。设细绳的总长为 (1)设∠CA1O = (rad),将y表示成θ的函数关系式; (2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时 BC应为多长。 B A1 A2 C O A3 19、 已知,数列有(常数),对任意的正整数,并有满足。 (1)求的值; (2)试确定数列是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由; (3)令,是否存在正整数M,使不等式恒成立,若存在,求出M的最小值,若不存在,说明理由。 20、 已知函数 (1)求的单调区间; (2)若关于的不等式对一切都成立,求范围; (3)某同学发现:总存在正实数使,试问:他的判断是否正确; 若正确,请写出的范围;不正确说明理由. 21、如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,⊥AC,M是的中点,N是BC的中点,点P在直线上,且满足. (Ⅰ)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大? P N M A B C (Ⅱ)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为,试确定点P的位置. 22、 已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,设向量 = ( sinx , 2 ) ,= (2sinx , ),= ( cos2x , 1 ),=(1,2), (Ⅰ)求函数f (x)的单调区间; (Ⅱ)当x∈[0,π]时,求不等式f (·)>f (·)的解集. 23、(1)(矩阵与变换)求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量. (2) (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,椭圆C的参数方程为,其中为参数.以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值. 以下是答案 一、填空题 1、28 2、 3、-1 4、由于在上是减函数,所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得 5、 6、的实质是点在点之间,故考虑它们的排列顺序可得答案为 7、解析:焦点=,而的最小值是 8、2 9、当离圆最远时最小,此时点坐标为:记, 则,计算得= 10、 , 11、设点的坐标为,∵,∴. 整理,得(),发现动点M的轨迹方程是椭圆,其焦点恰为两点,所以 12、若则不符合题意,若则于是,亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。 13、(3) (4) 14、3 二、解答题 15、解:⑴当 假设当 则当时, … 其中…. 所以 所以; (2),故的末位数字是7. 16、解:(Ⅰ)证明:∵,∴. 又∵,是的中点, ∴, ∴四边形是平行四边形,∴ . ∵平面,平面,∴平面. (Ⅱ)证明:∵平面,平面,∴, 又,平面,∴平面. 过作交于,则平面. ∵平面, ∴. ∵,∴四边形平行四边形,∴, ∴,又, ∴四边形为正方形,∴, 又平面,平面,∴⊥平面. ∵平面, ∴. (Ⅲ) ∵平面,,∴平面, 由(2)知四边形为正方形,∴. ∴, 17、解法一: (Ⅰ)由题意知:,又∵,∴动点必在以为焦点, 长轴长为4的椭圆,∴,又∵,. ∴椭圆的方程为. (Ⅱ)由题意,可设直线为:. 取得,直线的方程是 直线的方程是交点为 若,由对称性可知交点为 若点在同一条直线上,则直线只能为. ②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上. 事实上,由,得即, 记,则. 设与交于点由得 设与交于点由得 , ∴,即与重合, 这说明,当变化时,点恒在定直线上. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)取得,直线的方程是直线的方程是交点为 取得,直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上,则直线只能为. 以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上. 事实上,由,得即, 记,则. 的方程是的方程是 消去得…………………………………… ① 以下用分析法证明时,①式恒成立。 要证明①式恒成立,只需证明 即证即证……………… ② ∵∴②式恒成立. 这说明,当变化时,点恒在定直线上. 解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由,得 即. 记,则. 的方程是的方程是 由得 即 . 这说明,当变化时,点恒在定直线上. 18、 (Ⅰ)解:在△COA1中, ,, = () (Ⅱ), 令,则 当时,;时,, ∵在上是增函数 ∴当角满足时,y最小,最小为;此时BCm B A1 A2 C O A3 19、 解:(1)由已知,得, ∴ (2)由得则, ∴,即, 于是有,并且有, ∴即, 而是正整数,则对任意都有, ∴数列是等差数列,其通项公式是。 (3)∵ ∴ ; 由是正整数可得,故存在最小的正整数M=3,使不等式恒成立。 20、(1)定义域 ∴ ∴在递增,递减 (2)由题 ∴时, 时, 时, 21、解:(1)以AB,AC,分别为轴,建立空间直角坐标系, 则, 平面ABC的一个法向量为则 (*) 于是问题转化为二次函数求最值,而当最大时,最大,所以当时, . (3)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为,即可得到平面ABC的一个法向量为 ,设平面PMN的一个法向量为,. 由得 ,解得. 令于是由 , 解得的延长线上,且. 22、解;(1)设f(x)图象上的两点为A(-x,y1)、B(2+x, y2),因为=1 f (-x) = f (2+x),所以y1= y2 由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴x≥1时,f(x)是增函数 ;x≤1时,f(x)是减函数。 (2)∵·=(sinx,2)·(2sinx, )=2sin2x+1≥1, ·=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1, ∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,∴f (·)>f (·)f(2sin2x+1)> f(cos2x+2) 2sin2x+1>cos2x+21-cos2x+1>cos2x+2 cos2x<02kπ+<2x<2kπ+,k∈z kπ+<x<kπ+, k∈z ∵0≤x≤π ∴<x< 综上所述,不等式f (·)>f (·)的解集是:{ x|<x< } 。 23、解:矩阵M的特征多项式为=. 令得矩阵M的特征值为-1和3 . 当 所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为. 当 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为. (2)解:直线l的普通方程为:,设椭圆C上的点到直线l距离为. ∴当时,,当时,.查看更多