2012年数学南通市学科基地密卷(一)

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2012年数学南通市学科基地密卷(一)

‎2012届南通市数学学科基地密卷(一)‎ 一、填空题 ‎1、执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲ .‎ While <10‎ End While Print “”‎ ‎2、,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ▲ .‎ ‎3、已知,若函数的最小正周期是2,‎ ‎ 则 ▲ .‎ ‎4、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 ▲ .‎ ‎5、已知函数,,则的单调减区间是 ▲ .‎ ‎6、在数轴上区间内,任取三个点,则它们的坐标满足不等式:‎ 的概率为 ▲ .‎ ‎7、P为抛物线上任意一点,P在轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM 长度之和的最小值为: ▲ .‎ ‎8、定义在上满足:,当时,=,‎ 则= ▲ .‎ ‎9、过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,‎ 记,则当最小时 ▲ .‎ ‎10、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由整数的倒数组成的,第行有个 ‎ 数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和,‎ 如:…,则第行第3个数字是 ▲ .‎ ‎11、已知正方形的坐标分别是,,,,动点M满足: 则 ▲ .‎ ‎12、“”是“对正实数,”的充要条件,则实数 ▲ .‎ ‎13、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列正确命题序号是 ▲ .‎ ‎(1)若m∥,n∥,则m∥n, (2)若则 ‎(3)若,且,则;(4)若,,则 ‎14、已知全集,集合,则中最 ‎ 大的元素是 ▲ .‎ 二、解答题 ‎15、已知数列满足:.‎ ‎(Ⅰ)求证:使;‎ ‎(Ⅱ)求的末位数字.‎ ‎16、‎ 在如图的多面体中,⊥平面,,,,‎ ‎,,,是的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面;‎ ‎(Ⅱ) 求证:;‎ ‎(Ⅲ)求多面体的体积. ‎ ‎17、‎ ‎ 已知双曲线的两焦点为,为动点,若.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若,设直线过点,且与轨迹交于、两点,直线与交于点.试问:当直线在变化时,点是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条定直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.‎ ‎18、‎ ‎ 如图所示:一吊灯的下圆环直径为‎4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为‎2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3。点C为上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等。设细绳的总长为 ‎(1)设∠CA1O = (rad),将y表示成θ的函数关系式;‎ ‎(2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时 BC应为多长。‎ B A1‎ A2‎ C O A3‎ ‎19、‎ ‎ 已知,数列有(常数),对任意的正整数,并有满足。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)试确定数列是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由;‎ ‎(3)令,是否存在正整数M,使不等式恒成立,若存在,求出M的最小值,若不存在,说明理由。‎ ‎20、‎ ‎ 已知函数 ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若关于的不等式对一切都成立,求范围;‎ ‎(3)某同学发现:总存在正实数使,试问:他的判断是否正确;‎ 若正确,请写出的范围;不正确说明理由.‎ ‎21、如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,⊥AC,M是的中点,N是BC的中点,点P在直线上,且满足.‎ ‎(Ⅰ)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大?‎ P N M A B C ‎(Ⅱ)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为,试确定点P的位置.‎ ‎22、‎ ‎ 已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,设向量 ‎= ( sinx , 2 ) ,= (2sinx , ),= ( cos2x , 1 ),=(1,2),‎ ‎(Ⅰ)求函数f (x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0,π]时,求不等式f (·)>f (·)的解集.‎ ‎23、(1)(矩阵与变换)求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.‎ ‎(2) (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,椭圆C的参数方程为,其中为参数.以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、28‎ ‎2、 ‎ ‎3、-1 ‎ ‎4、由于在上是减函数,所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得 ‎5、‎ ‎6、的实质是点在点之间,故考虑它们的排列顺序可得答案为 ‎7、解析:焦点=,而的最小值是 ‎8、2 ‎ ‎9、当离圆最远时最小,此时点坐标为:记,‎ 则,计算得= ‎ ‎10、‎ ‎, ‎ ‎11、设点的坐标为,∵,∴. 整理,得(),发现动点M的轨迹方程是椭圆,其焦点恰为两点,所以 ‎12、若则不符合题意,若则于是,亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。‎ ‎13、(3) (4) ‎ ‎14、3‎ 二、解答题 ‎15、解:⑴当 假设当 则当时,‎ ‎…‎ ‎ ‎ 其中….‎ 所以 所以;‎ ‎(2),故的末位数字是7.‎ ‎ ‎ ‎16、解:(Ⅰ)证明:∵,∴.‎ ‎ 又∵,是的中点, ∴,‎ ‎ ∴四边形是平行四边形,∴ . ‎ ‎∵平面,平面,∴平面. ‎ ‎(Ⅱ)证明:∵平面,平面,∴, ‎ 又,平面,∴平面. ‎ 过作交于,则平面.‎ ‎∵平面, ∴. ‎ ‎∵,∴四边形平行四边形,∴,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴四边形为正方形,∴, ‎ 又平面,平面,∴⊥平面. ‎ ‎∵平面, ∴. ‎ ‎(Ⅲ) ∵平面,,∴平面, ‎ 由(2)知四边形为正方形,∴. ‎ ‎∴, ‎ ‎17、解法一:‎ ‎(Ⅰ)由题意知:,又∵,∴动点必在以为焦点,‎ 长轴长为4的椭圆,∴,又∵,. ‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意,可设直线为:.‎ 取得,直线的方程是 直线的方程是交点为 ‎ 若,由对称性可知交点为 若点在同一条直线上,则直线只能为.‎ ‎②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上.‎ 事实上,由,得即,‎ 记,则.‎ 设与交于点由得 设与交于点由得 ‎, ‎ ‎∴,即与重合,‎ 这说明,当变化时,点恒在定直线上.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)取得,直线的方程是直线的方程是交点为 取得,直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上,则直线只能为.‎ 以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上.‎ 事实上,由,得即,‎ 记,则.‎ 的方程是的方程是 消去得…………………………………… ①‎ 以下用分析法证明时,①式恒成立。‎ 要证明①式恒成立,只需证明 即证即证……………… ②‎ ‎∵∴②式恒成立.‎ 这说明,当变化时,点恒在定直线上.‎ 解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由,得 即.‎ 记,则.‎ 的方程是的方程是 ‎ 由得 ‎ 即 ‎ .‎ 这说明,当变化时,点恒在定直线上.‎ ‎18、 (Ⅰ)解:在△COA1中,‎ ‎,, ‎ ‎=‎ ‎()‎ ‎(Ⅱ), ‎ 令,则 ‎ 当时,;时,,‎ ‎∵在上是增函数 ‎∴当角满足时,y最小,最小为;此时BCm ‎ B A1‎ A2‎ C O A3‎ ‎19、 解:(1)由已知,得, ∴ ‎ ‎ (2)由得则,‎ ‎∴,即,‎ 于是有,并且有,‎ ‎∴即,‎ 而是正整数,则对任意都有,‎ ‎∴数列是等差数列,其通项公式是。 ‎ ‎(3)∵‎ ‎∴‎ ‎;‎ 由是正整数可得,故存在最小的正整数M=3,使不等式恒成立。‎ ‎20、(1)定义域 ‎ ∴ ∴在递增,递减 ‎(2)由题 ‎ ‎ ∴时, 时,‎ ‎ 时,‎ ‎21、解:(1)以AB,AC,分别为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 平面ABC的一个法向量为则 (*)‎ 于是问题转化为二次函数求最值,而当最大时,最大,所以当时,‎ ‎.‎ ‎(3)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为,即可得到平面ABC的一个法向量为 ‎,设平面PMN的一个法向量为,.‎ 由得 ,解得.‎ 令于是由 ‎,‎ 解得的延长线上,且.‎ ‎22、解;(1)设f(x)图象上的两点为A(-x,y1)、B(2+x, y2),因为=1 ‎ ‎ f (-x) = f (2+x),所以y1= y2‎ 由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称,‎ ‎∴x≥1时,f(x)是增函数 ;x≤1时,f(x)是减函数。‎ ‎(2)∵·=(sinx,2)·(2sinx, )=2sin2x+1≥1,‎ ‎·=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,‎ ‎∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,∴f (·)>f (·)f(2sin2x+1)> f(cos2x+2)‎ ‎ 2sin2x+1>cos2x+21-cos2x+1>cos2x+2‎ ‎ cos2x<02kπ+<2x<2kπ+,k∈z kπ+<x<kπ+, k∈z ∵0≤x≤π ∴<x<‎ 综上所述,不等式f (·)>f (·)的解集是:{ x|<x< } 。‎ ‎23、解:矩阵M的特征多项式为=.‎ 令得矩阵M的特征值为-1和3 .‎ 当 所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为.‎ 当 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.‎ ‎(2)解:直线l的普通方程为:,设椭圆C上的点到直线l距离为.‎ ‎∴当时,,当时,.‎
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