2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）上学期第一次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）上学期第一次月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.下列命题中错误的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“x＞‎5”‎是“x2﹣4x﹣5＞‎0”‎的充分不必要条件 C．命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0‎ D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=‎2”‎的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠‎‎0”‎ ‎2.已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤‎0”‎，则命题￢p（　　）‎ A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0‎ C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0‎ ‎3.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知2x=3y=5z，且x，y，z均为正数，则2x，3y，5z的大小关系为（　　）‎ A．2x＜3y＜5z B．3y＜2x＜5z ‎ C．5z＜3y＜2x D．5z＜2x＜3y ‎5.在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表 广 告 费 用x （万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售 额y （万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ a ‎54‎ 已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14，则表中的a的值为（　　）‎ A．37 B．‎38 ‎C．39 D．40‎ ‎7.设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（　　）‎ A．﹣=1（y≠0） B．﹣=1（y≠0）‎ C． +=1（y≠0） D． +=1（y≠0）‎ ‎8.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9.已知数列{an}通项公式为an=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±xD．y=±x ‎10.已知直线 与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点， ，则λ﹣μ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）‎ A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，e]‎ ‎12.已知椭圆： +=1（a，b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若椭圆上存在点P，使得•=0，则椭圆离心率e的取值范围是（　　）‎ A．[，1） B.（0，] C.[，1） D．[，]‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于　　．‎ ‎14.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知=，则等于　　．‎ ‎15.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是　 　．‎ ‎16.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得PO=|F‎1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为　　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2 an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的中点，四棱锥D﹣ABCM的体积为V，求三棱锥E﹣ADM的体积．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．‎ 鱼的重量 ‎[1.00，1.05）‎ ‎[1.05，1.10）‎ ‎[1.10，1.15）‎ ‎[1.15，1.20）‎ ‎[1.20，1.25）‎ ‎[1.25，1.30）‎ 鱼的条数 ‎3‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎31‎ ‎9‎ ‎2‎ 若规定重量大于或等于‎1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．‎ ‎（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？‎ ‎（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．‎ ‎①求x12+x22的值；‎ ‎②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．‎ ‎（Ⅰ）求点C的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：‎ ‎①f（x）在[m，n]上是单调函数；‎ ‎②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．‎ 则称[m，n]是该函数的“等域区间”．‎ ‎（1）求证：函数不存在“等域区间”；‎ ‎（2）已知函数（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a的取值范围．‎ 衡阳八中2017年下期高二年级理科实验班第一次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C B B C C C C B B C ‎13.4‎ ‎14.‎ ‎15.4‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，‎ 又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，‎ ‎∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），‎ ‎∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；（5分）‎ ‎（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an•bn=（n﹣3）×2n﹣3，‎ Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，‎ ‎2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，‎ 相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2‎ ‎=（n﹣4）×2n﹣2+1（10分）‎ ‎18.（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，‎ ‎∴AM=BM，则BM⊥AM，‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM，‎ 平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，‎ ‎∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，‎ ‎∴AD⊥BM；（6分）‎ ‎（2）解：当E为DB的中点时，‎ ‎∵，‎ ‎∴===．（12分）‎ ‎19.（1）捕捞的100条鱼中，数据落在[1.20，1.30）中的概率约为P1==0.11，‎ 由于0.11×100%=11%＜15%，故饲养的这批鱼没有问题．（4分）‎ ‎（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，‎ 重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作B1，B2，‎ 那么从中任取2条的所有的可能有：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，‎ ‎{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，‎ ‎{A3，B2}，{B1，B2}共10种．（7分）‎ 而恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的情况有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，‎ ‎{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共6种．(10分）‎ 所以恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的概率p==．（12分）‎ ‎20.（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=，‎ 可得椭圆标准方程为+=1；（3分）‎ ‎（2）①由题意可得k1k2==﹣，‎ 即为x12x22=16y12y22，‎ 又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，‎ 可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，‎ 即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），‎ 化简可得x12+x22=8；（6分）‎ ‎②由题意可得C（x2，﹣y2），‎ 由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，‎ 可得y12+y22==，（8分）‎ 由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，‎ 可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，‎ 由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，‎ 可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），（9分）‎ 由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，‎ 可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，（10分）‎ 则直线AC的斜率为kAC==±=±．（12分）‎ ‎21.（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，，‎ 化简得y2=4x，所以抛物线的标准方程为y2=4x．（3分）‎ ‎（Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为．‎ 显然直线l1斜率存在且不为0，由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），‎ 代入椭圆方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．（5分）‎ ‎△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．‎ 所以点R的坐标为（1+，）． （6分）‎ 由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k）．‎ 当k≠±1时，有，此时直线RT的斜率． （8分）‎ 所以，直线RT的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），‎ 整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，‎ 于是，直线RT恒过定点E（3，0）；（10分）‎ 当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）． ‎ 综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）（12分）‎ ‎ ‎ ‎22.（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集．‎ ‎∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），‎ 故函数在[m，n]上单调递增．‎ 若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则 故m、n是方程的同号的相异实数根．‎ ‎∵x2﹣3x+5=0无实数根，‎ ‎∴函数不存在“等域区间”．（6分）‎ ‎（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，‎ ‎∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），‎ 故函数在[m，n]上单调递增．‎ 若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则 故m、n是方程，即a2x2﹣（‎2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．‎ ‎∵，∴m，n同号，故只需△=（﹣（‎2a+2））2﹣‎4a2=‎8a+4＞0，‎ 解得，‎ ‎∴实数a的取值范围为．（12分）‎