专题4-1 立体几何 -2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题4-1 立体几何 -2017年全国高考数学考前复习大串讲

‎【知识网络】‎ ‎【考点聚焦】‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．‎ 内 容 要 求 A B C 空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体　　‎ ‎√‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积　　‎ ‎√‎ 点、线、面 之间的位置关系 平面及其基本性质　　‎ ‎√‎ 直线与平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎√‎ 两平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎√‎ 一.空间几何体的结构、三视图及表面积与体积 ‎1.【原题】（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，‎ 并说出它的名称．‎ 俯视图 ‎【原题解读】（1）知识上；需要明确三视图的原则即；主俯长对正，主侧高对齐，俯侧宽相等。‎ ‎（2）思路方法上；需要经历由三视图对原几何体的直观想象，操作确认（由三视图画出直观图），思辨论证（由所画的直观图，再看是否能获得对应的三视图）。‎ ‎（3）考察空间想象能力及推理论证能力。‎ 变式.【2014湖北高考】 在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）‎ A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】设，‎ 在坐标系中标出已知的四个点，‎ 根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.‎ ‎2. 【原题】（必修2第28页习题1.3第3题） 如图将一个长方体沿相邻三 个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。‎ ‎ 【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用 分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而 求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。‎ 变式.【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3.【原题】（必修2第29习题1.3 B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm²，1cm³，可用计算器）。‎ ‎【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，‎ 可知球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，‎ 所以球的表面积和体积分别为：‎ S球=4π =4π•22=16π（），V球=43πR3=43π•23=323π（）．‎ 而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，‎ 所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：‎ S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544，V四棱柱=8×4×20=640。‎ 该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形．四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和．所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AE⊥CD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：‎ ‎【原题解读】：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。‎ 变式.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【答案】B ‎4. 【原题】（必修2第37复习参考题B组2）一个长、宽、高分别是80 cm、60‎ ‎ cm、55cm的水槽中有水200000.线放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？‎ ‎【解析】水槽的容积V=80×60×55=264000(cm3)，‎ 木球的体积，，‎ ‎∴水不会从水槽中流出．‎ ‎【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体水中部 分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。 同时可延伸拓展 为球体与多面体内接域外切问题. ‎ 变式.【2015高考课标2】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=900,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎ ‎ 二.空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.【原题】（必修2第47页例题3）　如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.‎ ‎(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？‎ ‎(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？‎ ‎(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？‎ ‎【解析】(1) 由 异面直线的定义可知，‎ 棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．‎ ‎(2) 由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，‎ 所以直线BA′和CC′的夹角为45°.‎ ‎(3) 直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．‎ ‎【原题解读】‎ ‎（1）知识上；需要明确异面直线所成角的定义。‎ ‎（2）思路方法上；异面直线所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过对空间几何环境的观察发现异面直线所成的角（对应的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。‎ ‎（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。‎ 变式. 【2015高考四川】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 如图建立空间直角坐标系；设 ，‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎2.【原题】（必修2第49页例题4）下列命题中正确的个数是 (　　)‎ ‎①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；‎ ‎②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；‎ ‎③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；‎ ‎④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解析】‎ 如图借助长方体模型来看命题是否正确．‎ 命题①不正确，相交时也符合；‎ 命题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，‎ 但它与CD不平行；命题③不正确，另一条直线有可能 在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；‎ 命题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都 没有公共点．‎ ‎【原题解读】‎ ‎（1）知识上：线与面平行的判定定理；‎ ‎（2）思路方法上；通过对判定定理中关键条件的辨析，（如“无数”与“任意”）加深对判定定理的理解。在命题真假判定中注意运用几何模型，假的可举出反例。‎ ‎（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和建模思想。‎ 变式.【2014高考广东】若空间中四条直线两两不同的直线...，满足，，，则下列结论一定正确的是( )‎ A. B. C. .既不平行也不垂直 D..的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎ ‎ 三.直线、平面平行的判断及其性质 ‎1.【原题】（必修2第59页例题3）如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.‎ ‎(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？‎ ‎(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？‎ ‎【解析】‎ ‎(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，‎ 使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.‎ 连接BE，CF. 则EF、BE、CF就是应画的线．‎ ‎ ‎ ‎【原题解读】‎ ‎（1）知识上：线与面平行的判定定理；‎ ‎（2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的 一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。‎ ‎（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。‎ 变式.【2015新课标2】 如图,长方体中 AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；‎ ‎（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎【答案】（I）见解析（II） 或 ‎【解析】（I）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；交线 ‎ 围成的正方形EFGH如图所示；‎ ‎（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，‎ EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，‎ 于是,AH=10，HB=6．‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为 四.直线、平面垂直的判定和性质 ‎1.【原题】（必修2第66页例题2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.‎ ‎【原题解读】（1）知识上；需要明确直线与平面所成角的定义。‎ ‎（2）思路方法上；解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。‎ ‎（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。‎ 变式1.【2015高考湖南】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若直线与平面所成的角为，‎ 求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】（I）略；(II) .‎ 变式2. 【2015高考新课标2】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）．‎ ‎ ‎ ‎2.【原题】（必修2第69页例题3）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，‎ 求证：平面PAC⊥平面PBC. ‎ ‎【原题解读】‎ ‎（1）知识上：线与面平行的判定定理；‎ ‎（2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。‎ ‎（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。‎ 变式1. 【2014江苏高考】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，‎ 求证（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（I）略；(II)见解析 变式2．【2015高考新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，‎ E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，‎ DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ‎【解析】‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，‎ ‎∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，‎ ‎∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ‎ ‎（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，‎ y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，‎ 由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），‎ C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，） ‎ 故.，所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.‎ ‎3.【原题】（必修2第79页复习参考题B组1题）如图，边长为2的正方形ABCD中，‎ ‎(1)点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE， DF折起，‎ 使A，C两点重合与，求证：.‎ ‎(2) 当时，求三棱锥体积.‎ ‎ ‎ ‎【原题解读】‎ ‎（1）知识上：线与面垂直的判定定理、体积运算及折叠问题；‎ ‎（2）思路方法上；通过平面图形的折叠，构造几何体，再提出问题。需注意图形折叠中几何性质的变与不变（隐含条件的挖掘），然后利用线面垂直的判定定理（平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直与此平面。即由线与线垂直推出线与面垂直）。体积计算关键是底面和高的认定。‎ ‎（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想及运算能力。‎ 变式1.【2015高考陕西】如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎(I)证明：平面；‎ ‎(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .‎ ‎【解析】(I)在图1中，因为，是的中点，所以，即在图2中，， 从而平面 又，所以平面.‎ 变式2.【2014福建高考】在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2) ‎【解析】：(1)因为平面,平面平面平面 所以平面又平面所以.‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【感受高考】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析： 该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2. 【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.‎ ‎3.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，．故选C．‎ ‎4. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 5.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．‎ ‎（I）证明：平面ABEF平面EFDC；‎ ‎（II）求二面角E-BC-A的余弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）由已知可得,,所以平面．‎ 又平面,故平面平面．‎ ‎（II）过作,垂足为,由（I）知平面．‎ 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（I）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．‎ 由已知,,所以平面．‎ 又平面平面,故,．‎ 由,可得平面,所以为二面角的平面角,‎ ‎．从而可得．‎ 所以,,,．‎ 设是平面的法向量,则 ‎,即,‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量,则,‎ 同理可取．则．‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎7.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.‎ ‎（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ 由题意得，，过点作于点，‎ 所以 可得 故.‎ 设是平面的一个法向量. ‎ 由 可得 可得平面的一个法向量 因为平面的一个法向量 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 从而，可得 所以二面角的余弦值为.‎