数学卷·2018届陕西省西北大学附中高二上学期期中考试数学文试卷（解析版）

数学卷·2018届陕西省西北大学附中高二上学期期中考试数学文试卷（解析版）

‎2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分）‎ ‎1．双曲线﹣=1的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣，0）、（，0） B．（0，﹣）、（0，） C．（﹣5，0）、（5，0） D．（0，﹣5）、（0，5）‎ ‎2．命题“∀x＞0，总有（x+1）ex＞1”的否定是 （　　）‎ A．∀x＞0，总有（x+1）ex≤ B．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ C．∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）ex0≤1‎ ‎3．抛物线y=2x2的准线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（　　）‎ A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 ‎5．方程x2﹣5x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是（　　）‎ A．椭圆、双曲线 B．椭圆、抛物线 C．双曲线、抛物线 D．无法确定 ‎6．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．原命题为“若a＞b，则ac2＞bc2”关于其逆命题，否命题，逆否命题 真假性的判断依次如下，正确的是（　　）‎ A．真，真，真 B．真，真，假 C．假，假，真 D．假，假，假 ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．无数个 ‎9．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（　　）‎ A．16 B．12 C．9 D．6‎ ‎10．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分）‎ ‎11．（4分）命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是　　．‎ ‎12．（4分）若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于　　．‎ ‎13．（4分）已知命题“∃x∈R，3x2+ax+a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．（4分）已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°则△PF1F2的面积为　　．‎ ‎15．（4分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）‎ ‎16．（8分）已知p：|3x﹣4|＞2，求￢p是￢q的什么条件．‎ ‎17．（10分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．‎ ‎18．（10分）已知a＞0且a≠1，命题p：“函数y=logax在（0，+∞）内单调递减”命题q：“曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴有两个不同的交点若命题p且q是假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．‎ ‎19．（10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，‎ ‎（1）求抛物线的方程．‎ ‎（2）过点P（﹣4，1）作直线l交抛物线与A，B两点，使弦AB恰好被P点平分，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l过点（0，1），交椭圆C于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．‎ ‎　‎ 四、附加题（共20分）‎ ‎21．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎22．（5分）过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎　‎ 五、解答题（共1小题，满分10分）‎ ‎23．（10分）已知圆C：（x+1）2+y2=16及点A（1，0），Q为圆上一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程　　．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分）‎ ‎1．（2016秋•碑林区校级期中）双曲线﹣=1的焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣，0）、（，0） B．（0，﹣）、（0，） C．（﹣5，0）、（5，0） D．（0，﹣5）、（0，5）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知，a2=16，b2=9，‎ 则c2=a2+b2=25，即c=5，‎ 故双曲线的焦点坐标为：（±5，0），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•碑林区校级期中）命题“∀x＞0，总有（x+1）ex＞1”的否定是 （　　）‎ A．∀x＞0，总有（x+1）ex≤ B．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1‎ C．∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）ex0≤1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞0，总有（x+1）ex＞1”的否定是：∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•福州模拟）抛物线y=2x2的准线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先把抛物线化为标准方程为x2=y，再求准线．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，‎ ‎∴p=，开口朝上，‎ ‎∴准线方程为y=﹣，‎ 故选D．‎ ‎【点评】在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•安宁区校级三模）若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（　　）‎ A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据“p或q”的否定形式是真命题可以知道：“p或q”为假命题，故p假q假，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵“p或q”的否定形式是真命题 ‎∴“p或q”为假命题，故p假q假 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断．注意：一个命题与其否定形式互为真假命题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•碑林区校级期中）方程x2﹣5x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是（　　）‎ A．椭圆、双曲线 B．椭圆、抛物线 C．双曲线、抛物线 D．无法确定 ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求解一元二次方程，得到两根范围得答案．‎ ‎【解答】解：由x2﹣5x+1=0，得，‎ ‎∵∈（0，1），∈（1，+∞），‎ ‎∴两圆锥曲线是椭圆与双曲线．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，‎ 例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；‎ 故前者不是后者的充分条件；‎ 当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；‎ 由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•碑林区校级期中）原命题为“若a＞b，则ac2＞bc2”关于其逆命题，否命题，逆否命题 真假性的判断依次如下，正确的是（　　）‎ A．真，真，真 B．真，真，假 C．假，假，真 D．假，假，假 ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．‎ ‎【专题】探究型；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．‎ ‎【解答】解：原命题为“若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时，不成立，故为假命题，‎ 故其逆否命题也为假命题；‎ 其逆命题为：“若ac2＞bc2，则a＞b”为真命题，‎ 故其否命题也为真命题，‎ 故选：B ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，不等式的基本性质等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•碑林区校级期中）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．无数个 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由椭圆方程求出a，b，c，判断椭圆的形状，确定满足题意的点的个数．‎ ‎【解答】解：由，得a=2，b=2，c=2．‎ ‎∵b=c=2，‎ ‎∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．‎ ‎∴PF1⊥PF2的点P的个数为2，即满足•=0的点P的个数为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的基本性质，垂直条件的应用是解题的关键，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2013秋•阳泉期末）已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（　　）‎ A．16 B．12 C．9 D．6‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为 x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．‎ 设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），‎ 则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•长安区校级三模）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．‎ ‎【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=，即M（c，）‎ 在△MF1F2中tan30°=‎ 即，解得e=‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分）‎ ‎11．（4分）（2010秋•虹口区校级期末）命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是　若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0　．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】命题的否命题是把命题的条件否定做条件，结论否定做结论，根据规则写出否命题即可 ‎【解答】解：命题“若a•b=0，则实数a=0或b=0”的否命题是“若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0”‎ 故答案为：若a•b≠0，则实数a≠0且b≠0‎ ‎【点评】本题考查四种命题，要求按规则写出命题的否命题，本题易将否命题错为命题的否定而致错，对基本概念要正确理解．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2010•福建）若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，‎ ‎∴，解得b=1．‎ 故答案为1‎ ‎【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016秋•碑林区校级期中）已知命题“∃x∈R，3x2+ax+a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　（0，6）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】函数思想；分析法；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用命题P与￢P真假相反，得到￢P真，令判别式小于0求出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵命题P：∃x∈R，3x2+ax+a≤0‎ ‎∴﹁p：∀x∈R，3x2+ax+a＞0‎ 若命题P是假命题，则﹁p是真命题 所以△=a2﹣6a＜0‎ 解得0＜a＜6‎ 故答案为：0＜a＜6．‎ ‎【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将“∀”与“∃”互换，结论否定、考查命题P与命题￢P真假相反、考查二次不等式恒成立结合图象，写出判别式满足的条件．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016秋•碑林区校级期中）已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°则△PF1F2的面积为　3　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，通过余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．‎ ‎【解答】解：由椭圆=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4．‎ ‎∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8‎ 在△PF1F2中，cos∠F1PF2==‎ ‎===cos60°=，‎ ‎∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，‎ ‎∴|PF1||PF2|=12，‎ 又∵在△F1PF2中，‎ ‎=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×12sin60°=3．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）‎ ‎16．（8分）（2016秋•碑林区校级期中）已知p：|3x﹣4|＞2，求￢p是￢q的什么条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．‎ ‎【解答】解：由p：|3x﹣4|＞2，解得：x＜或x＞2，‎ 故￢p：≤x≤2，‎ 由q：＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，‎ 故￢q：﹣1≤x≤2，‎ 所以¬p和是¬q是充分不必要条件．‎ ‎【点评】本题考查了解不等式问题，考查充分必要条件的定义以及集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）（2010秋•金台区期末）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设出双曲线方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，即可确定双曲线的几何性质，从而可得双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0）‎ 椭圆的半焦距，离心率为，（6分）‎ 两个焦点为（4，0）和（﹣4，0）（9分）‎ ‎∴双曲线的两个焦点为（4，0）和（﹣4，0），离心率 ‎∴，∴a=2（12分）‎ ‎∴b2=c2﹣a2=12（14分）‎ ‎∴双曲线的方程为（15分）‎ ‎【点评】本题双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016秋•碑林区校级期中）已知a＞0且a≠1，命题p：“函数y=logax在（0，+∞）内单调递减”命题q：“曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴有两个不同的交点若命题p且q是假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】当p为真、q为假时，求出a的范围；当p为假、q为真时，求出a的范围，把这几个a的范围取并集即得所求 ‎【解答】解：当p为真时，0＜a＜1．当q为真时，△=（2a﹣3）2﹣4＞0，即a＞或a．‎ ‎∵“p且q”为假，“p或q”为真，∴p与q必是一真一假．‎ 当p为真、q为假时则有．，解得≤x＜1．‎ 当P为假、Q为真时，则有，解得≥．‎ 综上可得．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•碑林区校级期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，‎ ‎（1）求抛物线的方程．‎ ‎（2）过点P（﹣4，1）作直线l交抛物线与A，B两点，使弦AB恰好被P点平分，求直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据题意可设抛物线的方程为：y2=﹣2px，利用抛物线的定义求得p的值，得到抛物线的方程；‎ ‎（2）由题意可设AB的方程为x=my﹣4﹣m，代入抛物线的标准方程为y2=﹣8x，由y1+y2=﹣8m=2，求得m的值，从而得到AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设抛物线方程：y2=﹣2px，‎ 焦点坐标为（﹣，0），准线为：x=，‎ ‎∵抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离是5．‎ 由抛物线的定义可得， +3=5，‎ 解得p=4，‎ 即有抛物线方程为y2=﹣8x；‎ ‎（2）由题意可设AB的方程为x=my﹣4﹣m，代入抛物线的标准方程为y2=﹣8x，‎ 可得y2+8my﹣32﹣8m=0，∴y1+y2=﹣8m=2，∴m=﹣，∴AB的方程为4x+y+15=0．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，得到y1+y2=﹣8m=2，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•碑林区校级期中）已知椭圆C的焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l过点（0，1），交椭圆C于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：b=1， =，a2=b2+c2，联立即可得出．‎ ‎（2）设A（x1，y1）B（x2，y2）．由题意得直线l得斜率必存在，设为k，且直线必与椭圆有两个交点，直线l的方程为y=kx+1，与题意方程联立，利用=0，及其根与系数的共线即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：‎ ‎，‎ 椭圆C的方程是，‎ ‎（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），‎ 由题意得直线l得斜率必存在，设为K，且直线必与椭圆有两个交点．‎ ‎∴直线l的方程为y=kx+1，‎ ‎∴直线的方程为x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 四、附加题（共20分）‎ ‎21．（5分）（2016秋•碑林区校级期中）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用判别式断出p是假命题．利用函数零点存在定理即可判断出命题q是真命题，再利用复合命题的判定方法即可判断出 ‎【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，△=1﹣4＜0，因此p真命题．‎ 命题q：令f（x）=x3﹣（1﹣x2），则f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，‎ ‎∴f（0）f（1）＜0，‎ ‎∴∃x0∈（0，1），使得f（x0）=0，即∃x∈R，x3=1﹣x2．因此q是真命题．‎ 可得p∧q是真命题．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（5分）（2016•哈尔滨校级一模）过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于4的线段．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，‎ ‎∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，‎ 当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y=±2，‎ ‎∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．‎ 综上可知有三条直线满足|AB|=4，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线与双曲线之间的关系问题，本题解题的关键是看清楚当直线的斜率不存在，即直线与实轴垂直时，要验证线段的长度．‎ ‎　‎ 五、解答题（共1小题，满分10分）‎ ‎23．（10分）（2016秋•碑林区校级期中）已知圆C：（x+1）2+y2=16及点A（1，0），Q为圆上一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程　　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径4，故有|MC|+|MA|=4＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于4，‎ 设点M的坐标为（x，y ），‎ ‎∵AQ的垂直平分线交CQ于M，‎ ‎∴|MA|=|MQ|． ‎ 又|MQ|+|MC|=半径4，‎ ‎∴|MC|+|MA|=4＞|AC|．‎ 依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且2a=4，c=1，∴b=‎ ‎∴点M的轨迹方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|=4＞|AC|，是解题的关键和难点．‎