2017-2018学年吉黑两省九校高二上学期期中考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年吉黑两省九校高二上学期期中考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 吉黑两省九校2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．命题“，”的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】该题命题的否定是：，。特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件。‎ 故答案选D。‎ ‎2．计算机执行右边的程序后，输出的结果是（ ）‎ ‎ ‎ A. -2018,2017 B. -1,4035 C. 1,2019 D. -1,2017‎ ‎【答案】D ‎【解析】初始值a=2017,b=2018,进入程序后，故结果为-1,2017.‎ 故答案为D.‎ ‎3．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知椭圆的焦点在x轴上，故 ，根据椭圆的几何性质得到：离心率为 ，解出方程得到： ‎ 故答案选B． ‎ ‎4．某学校有小学生125人，初中生95人，为了调查学生身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为100的样本，则采取下面哪种方式较为恰当（ ）‎ A. 简单随机抽样 B. 系统抽样 C. 简单随机抽样或系统抽样 D. 分层抽样 ‎【答案】D ‎【解析】∵小学生，初中生身体状况差异比较大，∴根据分层差异的定义可知，适合使用分层抽样进行抽取样本。系统抽样适用于元素个数较多，且分布均衡的总体，故综合考虑，选择分层抽样较好。‎ 故选：D．‎ ‎5．已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为（ ）‎ A. （1,0） B. C. D. （0,1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线标准方程得到 ， ，焦点坐标为 ，代入可得焦点坐标为 ，将点代入抛物线方程得到a=2,故最终得到焦点坐标为.‎ 故答案选C.‎ ‎6．设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据二次不等式的解法得到： ，由条件知道小范围推大范围，大范围推不出小范围， 反之推不出。故选必要不充分条件。‎ 故答案选B．‎ ‎7．已知事件、，命题：若、是互斥事件，则；命题：，则、是对立事件，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 是真命题 B. 是真命题 C. 或是假命题 D. 且是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】命题是真命题，命题：，则两件事不一定是对立事件，故ｑ命题是假命题；根据命题真假的判断知道，是假命题，故A不正确；是真命题，故B选项正确；‎ ｐ与ｑ一真一假故或是真命题，故C选项错误；D选项错误。‎ 故答案选择B。‎ ‎8．某市对上下班交通情况做抽样调查，作出上下班时间各抽取12辆机动车行驶时速（单位：）的茎叶图（如下）：‎ 则上下班时间机动车行驶时速的中位数分别为（ ）‎ A. 28与28.5 B. 29与28.5 C. 28与27.5 D. 29与27.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解即可：由茎叶图知：‎ 上班行驶时速的中位数为：，‎ 下班行驶时速的中位数为： ‎ 故选：D．‎ ‎9．已知一组正数，，，的方差为，则数据，，，的平均数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由方差的计算公式可得：S12=[x12+x22+…+xn2]﹣12= ‎ 可得平均数 =2．‎ 对于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2有 =2+2=4，‎ 故答案为：C．‎ 点睛：一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．‎ 用公式表示即 。‎ ‎10．如图，已知椭圆内有一点，、是其左、右焦点，为椭圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆的定义结合三角形中的两边之差小于第三边得： =2a﹣（| |﹣| |）≥2a﹣| |=8﹣2 =6，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值6．‎ 故选：B．‎ ‎11．已知、、为集合中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法输出一个整数，则输出的数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数a，b，c中的最大值 最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3 ， 1种情况 最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4 ，3种情况 最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5 ，6种情况 最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6，10种情况 a=5的概率= 。‎ 故答案为 。‎ 点睛：本题考查程序框图以及古典概型，通过程序表示出基本事件的总数，最后计算．属于基础题。具体计算如下：根据框图判断出其意义，根据意义分情况讨论，每种情况包含的种类．然后把事件发生的可能性除以总的可能性即可得出概率。‎ ‎12．如图，以为直径的有一内接梯形，且，若一双曲线以、为焦点，且过、两点，则时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的标准方程为，圆的半径为，则。‎ 由题意得为等边三角形，所以，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以。‎ 由双曲线的定义可得，‎ 故双曲线的离心率为。选C。‎ 点睛：求双曲线离心率的注意点 双曲线的离心率涉及的内容比较多，由于是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1。同时在解题过程中还应注意双曲线定义的灵活运用。‎ ‎13．在一个古典型（或几何概型）中，若两个不同随机事件、概率相等，则称和是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”，关于“等概率事件”，以下判断正确的是__________.‎ ‎①在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”；‎ ‎②若一个古典概型的事件总数为大于2的质数，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”；③因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件是“等概率事件”；‎ ‎④随机同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】对于①，由古典概型的定义知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之间都是“等概率事件”。故①正确。‎ 对于②，如在1,3,5,7,9五个数中，任取两个数所得和为10包括“1和9”与“3和7”两种情况，这两种情况的概率相等。故②错误。‎ 对于③，由本题的条件可知“等概率事件”是针对于同一个古典概型的。故③不正确。‎ 对于④，随机同时抛掷三枚硬币一次共有8中不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为；“仅有两个正面” 包含3种结果，其概率为。故这两个事件是“等概率事件”。故④正确。‎ 综上可得①④正确。‎ 答案：①④‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．用更相减损术可求得437与323的最大公约数为__________．‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】用更相减损术可得：437-323=114，323-114=209，209-114=95，114-95=19，95-19=76，76-19=57，57-19=38，38-19=19.故最终得到最大公约数为19.‎ 点睛：本题考查更相减损术的概念和应用：任给两个正整数(若是偶数，先用2约数)，以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)(或这个数与约简的数的乘积)就是所求的最大公约数．但是这种算法的计算次数较辗转相除法多。‎ ‎15．已知抛物线的焦点在轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），‎ 抛物线C上一点（m，2）（m＞1），‎ 即有4=2pm，①‎ 由抛物线的准线方程为x=﹣ ，‎ 由抛物线的定义可得，m+=②‎ 由①②解得m=2，p=1．‎ 即有抛物线的方程为y2=2x．‎ 故答案为：y2=2x．‎ 点睛：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．具体思路如下：设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），将点（m，2）代入抛物线方程，再由抛物线的定义，可得到焦点的距离即为到准线的距离，解m，p的方程，即可求得p=1，m=2，进而得到抛物线方程．‎ ‎16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知甲每局获胜的概率位0.3，我们用模拟试验的方法来计算甲获胜的概率采用三局两胜（规定必须打完三局）.首先规定用数字0,1,2表示甲获胜，用3,4,5,6,7,8,9表示乙获胜，然后用计算机产生如下20组随机数（每组三个数）：‎ ‎945 860 314 217 569 780 361 582 120 948‎ ‎602 759 376 148 725 549 182 674 385 077‎ 根据以上数据可得甲获胜的概率近似为__________．‎ ‎【答案】0.2‎ ‎【解析】一共进行了20局比赛，根据规则和计数原则知道，120，217，182，602 这四局比赛是甲获胜，除以比赛的总局数，得到0.2，因为比赛局数较少，故是近似值。‎ 故答案为0.2.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．根除如下一个算法：‎ 第一步，输入；‎ 第二步，若，则，否则执行第三步；‎ 第三步，若，则，否则；‎ 第四步，输出.‎ ‎（1）画出该算法的程序框图；‎ ‎（2）若输出的值为1，求输入实数的所有可能的取值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）实数的所有可能取值为，-1,0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据算法画出程序框图即可．（2）根据算法有：由y=x2﹣1=1，可得或（舍去）．由y=|x|=1可得x=﹣1或x=1（舍去），由x=0可得y=1，从而得解．‎ ‎（1）程序框图为 ‎（2）由得或（舍去），‎ 由得或（舍去），‎ 由得.‎ 所以输入实数的所有可能取值为，-1,0.‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图：‎ ‎（2）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线.‎ ‎（注：，）‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意描点作出散点图；（2）由表中数据求得b=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，从而解得回归方程；‎ ‎（1）散点图如图：‎ ‎（2）由表中数据得，，，，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 回归直线如上图所示.‎ ‎19．设实数满足；实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；‎ ‎（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，A是B的真子集，建立条件关系即可求实数a的取值范围．‎ ‎（1）由得，‎ 当时，，即为真实数的取值范围是（1,3），‎ 由，得，即为真实数的取值范围是（2,4）‎ 若为真，则真且真.‎ 所以实数的取值范围是（2,3）.‎ ‎（2）由得，‎ 是的充分不必要条件，即，且，‎ 设，或，则，‎ 又或，或或，‎ 则，且，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎20．已知抛物线：（）的焦点为，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）证明：点在直线上.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程为（），代入抛物线方程消去x整理得，再设，，进而得，可得直线的方程为，又，，故BD方程化为，令，得，即结论成立。‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意知，解得，‎ 所以抛物线的方程.‎ ‎（2）设直线的方程为（），‎ 由消去x整理得，‎ 设，，则，‎ 且，.‎ 又直线的方程为，‎ 即，‎ 在上述方程中，令，得.‎ 所以点在直线上.‎ ‎21．袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.‎ ‎（1）记事件表示“”，求事件的概率；‎ ‎（2）在区间内任取两个实数，，求“事件恒成立”的概率.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．（2）记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．‎ ‎（1）两次不放回抽取小球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个，事件包含的基本事件为，，，，共4个.‎ 所以.‎ ‎（2）记“恒成立”为事件，‎ 则事件等价于“”.‎ 可以看成平面中的点，‎ 则全部结果所构成的区域，‎ 而事件所构成的区域，‎ ‎.‎ 点睛：本题考查古典概型和条件概率；古典概型，找出所有事件的总和，满足条件的事件个数作比即可；条件概型一般是对于基本事件个数有无数多种情况来使用的。找到总事件所满足的区域，找到满足条件的区域，作比即可。‎ ‎22．如图，已知圆：经过椭圆（）的右焦点及上顶点，过椭圆外一点（）且斜率为的直线交于椭圆、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由圆的方程可得，，从而，，可得，故得椭圆的方程；（2）由题意得直线的方程为（），代入椭圆方程消去y可得，然后设，，将用点C,D的坐标表示，再根据根与系数的关系得到关于的方程，解方程可得的值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）在圆方程中，‎ 令，得或2；令，得或2。‎ 又圆经过椭圆的右焦点及上顶点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意得直线的方程为（）.‎ 由消去得.‎ ‎∵直线线交于椭圆、两点，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ 又，‎ ‎∴，‎ 设，，则，.‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，解得或.‎ 又，‎ ‎∴.‎ 点睛：解决直线和圆锥曲线位置关系问题的注意点：‎ ‎（1）根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论；‎ ‎（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单；‎ ‎（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视。‎