2018-2019学年江苏省马坝高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江苏省马坝高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

江苏省马坝高级中学2018-2019学年度第二学期期中考试 高二数学试题（文科）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）‎ ‎1.已知集合，，则集合_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的运算，即可求解。‎ ‎【详解】由题意，因为集合，所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则的模为________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算可得，再利用模的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，复数满足，则，‎ 则的模为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3.命题“，”的否定是_______________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是“”‎ ‎，故答案为.‎ ‎4.函数的定义域为___________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．‎ ‎【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，‎ ‎∴x≥2，‎ 故答案为[2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．‎ ‎5.已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，令，可得，‎ 所以函数（且）的图象过定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的过定点问题，其中解答中根据函数的解析式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.若，则的值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴,∴‎ 故答案为：3‎ ‎7.若，，，则，，按从大到小的顺序排列依次为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可看出，从而比较出a，b，c的大小．‎ ‎【详解】解：，，； ． 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．‎ ‎8.函数的单调递增区间为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.‎ ‎9.已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则________．‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】‎ f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.‎ ‎10.若直线是曲线的切线，则实数的值为____________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 设切点为，由得，‎ 故切线方程为，整理得，‎ 与比较得，解得，故 ‎11.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形中的两边，互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：．若三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积，，与底面积之间满足的关系为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．‎ ‎【详解】由边对应着面，边长对应着面积，‎ 由类比可得，‎ 故答案为．‎ 点睛】本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．‎ ‎12.已知函数，若对任意，均满足，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；‎ 考点：1.函数的单调性；2.导数研究函数的单调性；‎ ‎13.若函数在上存在极值，则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题得，由于函数f(x)在R上存在极值，‎ 所以，故填.‎ 点睛：本题的难点在于如何观察图像分析得到函数f(x)在R上存在极值的条件，这里主要是观察二次函数的判别式.‎ ‎14.已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在 上的单调性即可转化为，然后求得的范围.‎ ‎【详解】因为为R上偶函数，则，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 因为为上的减函数，，所以，‎ 解得，所以，的范围为.‎ ‎【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；‎ ‎（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.‎ ‎2.偶函数的性质：；奇函数性质：；‎ ‎3.若在D上为增函数，对于任意，都有；‎ 若在D上为减函数，对于任意，都有.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.设集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）m的取值范围是（0，].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简集合A，当m=2时，求解集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B；（2）根据A⊇B，建立条件关系即可求实数m的取值范围 试题解析：‎ ‎（1）集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤4}={x|2﹣5≤2﹣x≤22}={x|﹣2≤x≤5}‎ 当m=2时，B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}={x|﹣6＜x＜2}，‎ 那么：A∩B={x|﹣2≤x＜2}．‎ ‎（2）B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}‎ 由x2+2mx﹣3m2＜0‎ 可得：（x+3m）（x﹣m）＜0‎ ‎∵m＞0∴﹣3m＜x＜m故得集合B={x|﹣3m＜x＜m}，要使B⊆A成立，只需﹣3m≥﹣2且m≤5，解得：m≤．所以：0＜m≤ .‎ 综上可得m的取值范围是（0，]．‎ 点睛：解决集合问题应注意的问题（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．（3）防范空集．在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．‎ ‎16.设：实数满足，其中；：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简命题p，q中的不等式，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，求出两个命题为真命题的范围，取并集即答案；‎ ‎（2）记，，根据p是q必要不充分条件，即，从而得到a的不等式组，解之即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，又，所以，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围是.‎ 为真时等价于，得，‎ 即为真时实数的取值范围是.‎ 若为真，则实数的取值范围是.‎ ‎（2）是的必要不充分条件，等价于且，‎ 设，，则；‎ 则，所以实数的取值范围是.‎ ‎17.已知，其中是自然常数，.‎ ‎（1）当时，求的单调性和极值；‎ ‎（2）若有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当的极小值为，无极大值.(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（2）将有解，转化为在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ ‎∴当时，，此时为单调递减；‎ 当时，，此时为单调递增.‎ ‎∴当的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）∵，‎ 所以在上有解，即在上有解，‎ 令，，∴，‎ 令，则，‎ 当时，，此时为单调递增，‎ 当时，，此时为单调递减，‎ ‎∴，∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的有解问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎18.如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。‎ ‎【答案】(1) .(2) 当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设包装盒的高为，底面边长为，（1）中，求得，根据二次函数的性质，即可求解.‎ ‎（2）中，求得容积，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解.‎ ‎【详解】设包装盒的高为，底面边长为.‎ 由已知得，，.‎ ‎（1），‎ 所以当时，取得最大值.‎ ‎（2）由题意，可得，则.‎ 由得（舍去）或.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值，此时.‎ 即当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析式，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）判断并证明函数的单调性；‎ ‎（2）若函数为奇函数，求实数的值；‎ ‎（3）在（2）条件下，若对任意的正数,不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增函数（2）（3）的取值范围﹤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在定义域上任取两个变量，且规定大小，再将对应的函数值作差变形看符号，利用单调性的定义即可得到结论．‎ ‎（2）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（﹣x）＝0求得．‎ ‎（3）先求得a，结合（1）（2）得﹥对任意﹥0恒成立，利用二次函数图像及性质可得答案．‎ ‎【详解】（1）函数为R上的增函数，证明如下：‎ 函数的定义域为R，对任意，‎ 设﹤，，‎ 因为为R上的增函数，且﹤，所以﹤0，﹤0， ﹤函数为R上的增函数。 ‎ ‎（2）∵函数为奇函数 ‎∴，∴‎ 当时，‎ ‎∴，‎ 此时，函数为奇函数，满足题意。 ‎ 所以.‎ ‎（3）因为函数为奇函数，从而不等式﹥0对任意的恒成立等价于不等式﹥对任意的恒成立。‎ 又因为在（—∞，+∞）上为增函数， ‎ 所以等价于不等式﹥对任意的﹥0恒成立， ‎ 即2﹥0对任意的﹥0恒成立. ‎ 所以必须有﹥0且△﹤0；或， ‎ 所以实数的取值范围﹤‎ ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了函数的单调性、奇偶性的证明及应用，考查了推理论证的数学能力，是中档题．‎ ‎20.已知函数，其中，是自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调减区间；‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由时，可得，求得和，利用直线的点斜式方程，即可求解.‎ ‎（2）由函数，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，可得，所以.‎ 又由，所以，即切线斜率为，‎ 所以切线方程为，即.‎ ‎（2）由函数，则，‎ 当时，，函数单调递增，所以无单调减区间；‎ 当即时，列表如下：‎ ‎-2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以的单调减区间是.‎ 当即时，，列表如下：‎ ‎-2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以的单调减区间是.‎ 综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；‎ 当时，的单调减区间是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎