高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-1 直线与平面垂直的判定

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-1 直线与平面垂直的判定

一、选择题 ‎1．下列命题中，正确的有(　　)‎ ‎①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．‎ ‎②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．‎ ‎③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．‎ ‎④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．‎ ‎⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎[答案]　C ‎[解析]　②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．‎ ‎2．如果一条直线垂直于一个平面内的：‎ ‎①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．‎ 则能保证该直线与平面垂直(　　)‎ A．①③ B．①②‎ C．②④ D．①④‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　‎ 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.‎ ‎3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是(　　)‎ A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内的任意一条直线垂直 ‎[答案]　D ‎4．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．6‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　仅有平面AC和平面A‎1C1与直线AA1垂直．‎ ‎5．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　)‎ A．40° B．50°‎ C．90° D．150°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.‎ ‎6．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α ‎[答案]　D ‎[解析]　B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．‎ ‎7．(2012－2013·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎∵A1B1＝B‎1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，‎ 又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，‎ ‎∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，‎ 在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，‎ ‎∴sin∠OBC1＝.‎ ‎8．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)‎ A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，‎ 又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，‎ 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，‎ 所以△PAD为直角三角形．‎ ‎∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，‎ ‎∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.‎ 二、填空题 ‎9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．‎ ‎[答案]　垂直 ‎[解析]　取AC中点E，连BE、DE.‎ 由AB＝BC得AC⊥BE.‎ 同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED.‎ 因此，AC⊥BD.‎ ‎10．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．‎ ‎[答案]　菱形 ‎[解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD.‎ 又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.‎ 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.‎ 又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．‎ ‎11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．‎ ‎[答案]　45°‎ ‎[解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．‎ 又∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝5.‎ 又PC＝5，∴∠PMC＝45°.‎ ‎12．如右图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．‎ ‎①BD∥平面CB1D1；‎ ‎②AC1⊥BD；‎ ‎③AC1⊥平面CB1D1；‎ ‎④异面直线AD与CB1所成的角为60°.‎ ‎[答案]　④‎ ‎[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；‎ 由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，‎ 所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.‎ 所以②正确；‎ 可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B‎1C，‎ 所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；‎ 由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．‎ 三、解答题 ‎13．如图，从直线CD出发的两个半平面α、β，EA⊥α于A，EB⊥β于B，求证：CD⊥AB.‎ ‎[证明]　∵EA⊥α，CD⊂α，‎ ‎∴EA⊥CD，同理EB⊥CD，‎ ‎∴CD⊥平面EAB，‎ 又AB⊂平面EAB，∴CD⊥AB.‎ ‎14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．‎ ‎[分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．‎ ‎[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，‎ 所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．‎ 在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.‎ 则∠PCA＝45°，‎ 即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.‎ ‎[分析]　只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.‎ ‎[证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.‎ 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.‎ 又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.‎ ‎[点评]　利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．‎ ‎16．S为直角△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.D为斜边AC的中点，‎ ‎(1)求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC.‎ ‎[证明]　(1)D是Rt△ABC斜边AC的中点 ‎⇒SD⊥平面ABC.‎ ⇒BD⊥平面SAC.‎