高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-1 直线与平面垂直的判定

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高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-1 直线与平面垂直的判定

一、选择题 ‎1.下列命题中,正确的有(  )‎ ‎①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.‎ ‎②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.‎ ‎③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.‎ ‎④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.‎ ‎⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎[答案] C ‎[解析] ②③④⑤正确,①中当这无数条直线都平行时,结论不成立.‎ ‎2.如果一条直线垂直于一个平面内的:‎ ‎①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.‎ 则能保证该直线与平面垂直(  )‎ A.①③ B.①②‎ C.②④ D.①④‎ ‎[答案] A ‎[解析] ‎ 三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.‎ ‎3.下面条件中,能判定直线l⊥α的是(  )‎ A.l与平面α内的两条直线垂直 B.l与平面α内的无数条直线垂直 C.l与平面α内的某一条直线垂直 D.l与平面α内的任意一条直线垂直 ‎[答案] D ‎4.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.6‎ ‎[答案] B ‎[解析] 仅有平面AC和平面A‎1C1与直线AA1垂直.‎ ‎5.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于(  )‎ A.40° B.50°‎ C.90° D.150°‎ ‎[答案] B ‎[解析] 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.‎ ‎6.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(  )‎ A.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β B.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n C.m⊥α,m⊥n⇒n∥α D.n∥m,n⊥α⇒m⊥α ‎[答案] D ‎[解析] B中,m,n可能异面,C中n可能在α内,A中,m,n可能不相交.‎ ‎7.(2012-2013·武安中学高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 取B1D1中点O,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ ‎∵A1B1=B‎1C1=2,∴C1O⊥B1D1,‎ 又C1O⊥BB1,C1O⊥平面BB1D1D,‎ ‎∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角,‎ 在Rt△BOC1中,C1O=,BC1==,‎ ‎∴sin∠OBC1=.‎ ‎8.(09·四川文)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(  )‎ A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设AB长为1,由PA=2AB得PA=2,‎ 又ABCDEF是正六边形,所以AD长也为2,‎ 又PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,‎ 所以△PAD为直角三角形.‎ ‎∵PA=AD,∴∠PDA=45°,‎ ‎∴PD与平面ABC所成的角为45°,故选D.‎ 二、填空题 ‎9.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为________.‎ ‎[答案] 垂直 ‎[解析] 取AC中点E,连BE、DE.‎ 由AB=BC得AC⊥BE.‎ 同理AC⊥DE,所以AC⊥面BED.‎ 因此,AC⊥BD.‎ ‎10.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是________.‎ ‎[答案] 菱形 ‎[解析] 由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥BD.‎ 又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.‎ 又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.‎ 又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.‎ ‎11.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,P为空间一点,且AC=BC=5,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中点为M,则PM与平面ABC所成的角为________.‎ ‎[答案] 45°‎ ‎[解析] 由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角.‎ 又∵M是AB的中点,∴CM=AB=5.‎ 又PC=5,∴∠PMC=45°.‎ ‎12.如右图,ABCD-A1B‎1C1D1为正方体,下面结论错误的是________.‎ ‎①BD∥平面CB1D1;‎ ‎②AC1⊥BD;‎ ‎③AC1⊥平面CB1D1;‎ ‎④异面直线AD与CB1所成的角为60°.‎ ‎[答案] ④‎ ‎[解析] 由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;‎ 由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,‎ 所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.‎ 所以②正确;‎ 可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B‎1C,‎ 所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;‎ 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.‎ 三、解答题 ‎13.如图,从直线CD出发的两个半平面α、β,EA⊥α于A,EB⊥β于B,求证:CD⊥AB.‎ ‎[证明] ∵EA⊥α,CD⊂α,‎ ‎∴EA⊥CD,同理EB⊥CD,‎ ‎∴CD⊥平面EAB,‎ 又AB⊂平面EAB,∴CD⊥AB.‎ ‎14.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直线PC与平面ABCD所成的角.‎ ‎[分析] 找到PC在平面ABCD上的射影AC,则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角.‎ ‎[解析] 如图,连接AC,因为PA⊥平面ABCD,则AC是PC在平面ABCD上的射影,‎ 所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角.‎ 在△PAC中,PA⊥AC,PA=5,AC===5.‎ 则∠PCA=45°,‎ 即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎15.如图所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:AE⊥平面PBC.‎ ‎[分析] 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可,已知AE⊥PC,再证AE⊥BC,则可证AE垂直于平面PBC.‎ ‎[证明] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.‎ 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.‎ 又∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.‎ ‎[点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是:①在这个平面内找两条直线,使它和已知直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交直线;③根据判定定理得出结论.‎ ‎16.S为直角△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.D为斜边AC的中点,‎ ‎(1)求证:SD⊥平面ABC;‎ ‎(2)若直角边BA=BC,求证:BD⊥平面SAC.‎ ‎[证明] (1)D是Rt△ABC斜边AC的中点 ‎⇒SD⊥平面ABC.‎ ⇒BD⊥平面SAC.‎
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