2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷 高二数学 一、填空题：‎ ‎1.直线l：2x-y+1=0的斜率为________‎ ‎2.命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为______________‎ ‎3.直线l：kx+y-2k=0经过定点的坐标为________‎ ‎4.若命题p：，命题q：点在圆内，则p是q的______条件。‎ ‎5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2，l2:ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=_______ ‎ ‎6. 命题p：“若a>b，则<”的否命题是___________（填：真、假）命题 ‎ ‎7.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为_________ ‎ ‎8.若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为 . ‎ ‎9.离心率为2且与椭圆＋=1有共同焦点的双曲线方程是__________________ ‎ ‎10.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是______ ___‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，由不等式所确定的图形的面积为___________‎ ‎12.椭圆的右焦点为F，过原点O的直线交椭圆于点A、P，且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率=____ __. ‎ ‎13.在平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为，设M是抛物线上的动点，则的最大值为 .‎ ‎14.已知对于点A（0,12），B（10,9），C（8,0），D（-4,7），存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S的不同边所在直线上，设正方形S面积为k，则10k的值为_______‎ 二、解答题：‎ ‎15.已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程 表示双曲线”.‎ ‎（1）若是真命题,求实数的取值范围; ‎ ‎（2）若“”是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎16.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．‎ ‎（1）若，试求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；‎ ‎17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决。首先作一个通经为2a（其中正数a为原立方体的棱长）的抛物线C1，如图，再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2，且与C1交于不同于点O的一点P，自点P向抛物线C1的对称轴作垂线，垂足为M，可使以OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C1的标准方程；‎ ‎（2）为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C2的标准方程（只须以一个开口方向为例）。‎ ‎18.如图，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．‎ ‎（1）求轨迹W的方程；‎ ‎（2）设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．‎ ‎19.已知椭圆C：（a＞b＞0）上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A作直线l//DF，且与y轴交于点P（0，t），又在直线y＝t和椭圆C上分别取点Q和点E，满足OQ⊥OE（O为坐标原点），连接EQ ‎（1）求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2＝2相切；‎ ‎（2）判断直线EQ与圆x2+y2＝2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由。‎ ‎20.已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x 轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：＝λ1，＝λ2 ‎（1）求λ1·λ2的值 ‎（2）求证：点Q在一定直线上。‎ ‎2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷 高二数学 一、填空题：‎ ‎1.直线l：2x-y+1=0的斜率为________2‎ ‎2.命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为______________x∊R，使得x2+1>0‎ ‎3.直线l：kx+y-2k=0经过定点的坐标为________（2，0）‎ ‎4.若命题p：，命题q：点在圆内，则p是q的_______条件。充要．‎ ‎5.已知两条直线l1:x+ay=‎2a+2，l2:ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=_______ 0‎ ‎6. 命题p：“若a>b，则<”的否命题是___________（填：真、假）命题 假 ‎7.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为_________2 ‎ ‎8.若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为 . 0或4‎ ‎9.离心率为2且与椭圆＋=1有共同焦点的双曲线方程是_______－=1 ‎ ‎10.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 那么的值是_________ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，由不等式所确定的图形的面积为____________50π 解：由两个曲线的对称性，所求面积为圆面积的一半50π，也可具体分析第一象限围出的区域，注意对称性即可。‎ ‎12.椭圆的右焦点为F，过原点O的直线交椭圆于点A、P，且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率=______. ‎ 解：（11年江苏高考解几的逆命题）kPAkPB=-1‎ ‎ 又kAF=kPA=kAB，由点差法kABkPB= - 所以kPA kPB=-=-，所以a2=2b2，可得离心率为 ‎13.在平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为，设M是抛物线上的动点，则的最大值为 .‎ ‎【解析】焦点，设，则，，设到准线的距离等于，‎ 则=====‎ ‎==．令，，‎ 则==≤=（当且仅当时，等号成立）．‎ 故的最大值为 ‎ ‎14.已知对于点A（0,12），B（10,9），C（8,0），D（-4,7），存在唯一一个正方形S满足这四个点在S的不同边上，设正方形S面积为k，则10k的值为_______‎ 解：设m为过点B的正方形S的边所在直线的斜率，则该直线方程l1：y-9=m(x-10)‎ 即mx-y+(9-10m)=0‎ 过点C的正方形S的边所在直线方程l2：x+my-8=0‎ 由于点D到l1的距离等于点A到l2的距离，‎ 故= 解得：m=或-3‎ 而当m=时，点A与C在l1的两侧，矛盾，‎ 当m=-3符合，此时，k=()2= 所以10k=1936‎ 二、解答题：‎ ‎15.已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程 表示双曲线”.‎ ‎(1)若是真命题,求实数的取值范围; ‎ ‎(2)若“”是真命题,求实数的取值范围.‎ 解：(1) (3) （7分+7分）‎ ‎16.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．‎ ‎（1）若，试求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；[来 解：（1）设，由条件可知，所以，解之得：, ‎ 故所求点的坐标为或． ‎ ‎（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为 所以=，解得k=-1或- 故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0 （7分+7分）‎ ‎17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决。首先作一个通径为2a（其中正数a为原立方体的棱长）的抛物线C1，如图再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2，且与C1交于不同于点O的一点P，自点P向抛物线C1的对称轴作垂线，垂足为M，可使OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线C1的标准方程；‎ ‎（2）为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C2‎ 的标准方程（只须以一个开口方向为例）。 （6分+8分）‎ 解（1）以O为原点，OM为x轴正向建立平面直角坐标系，‎ 由题意，抛物线C1的通经为2a，所以标准方程为y2=2ax ‎（2）方法一：设抛物线C2：x2=my（m>0）‎ 又由题意OM3==2a3，所以xP=a，代入y2=2ax 得：=2a2，解得yP=a 所以点P（a，a）代入x2=my 得：(a)2=ma，解得m=a 所以抛物线C2为：x2=ay 方法二：设抛物线C2：x2=my（m>0）‎ 联立抛物线C1、C2得：‎ x4=2am2x，解得x=0或x3=2am2‎ ‎ 由题意OM3= x3=2am2=2a3‎ 所以，m=a 所以抛物线C2为：x2=ay 一点说明：古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”，试题也可有文化传承的功能。‎ ‎18.如图，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．‎ ‎（1）求轨迹W的方程；‎ ‎（2）设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．‎ 解：(1)因为A，B两点关于x轴对称，‎ 所以AB边所在直线与y轴平行．‎ 设M(x，y)，由题意，得A(x，x)，B(x，－x) ‎ 所以｜AM｜＝x－y，｜MB｜＝y＋x，‎ 因为｜AM｜·｜MB｜＝3，‎ 所以(x－y)×(y＋x)＝3，即 ‎ 所以点M的轨迹W的方程为(x≥1)．‎ ‎(2)设M(x，y)，则 因为点M在，所以y2＝3x2－3，‎ 所以 若，即m＜4，则当x＝1时，|MP｜min＝｜m－1|，‎ 若，即m≥4，则当时，‎ 所以，｜PM｜的最小值 （6分+10分）‎ ‎19.已知椭圆C：（a＞b＞0）上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A作直线l//DF，且与y轴交于点P（0，t），又在直线y＝t和椭圆C上分别取点Q和点E，满足OQ⊥OE（O为坐标原点），连接EQ ‎（1）求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2＝2相切；‎ ‎（2）判断直线EQ与圆x2+y2＝2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由。‎ 解：（1）由题设D（0,），F（,0），A（2,0）‎ 又AP//DF，所以kAP=kDF，可得t=2，‎ 所以AP：+=1，即x+y=2‎ 所以d===圆x2+y2＝2的半径，‎ 所以直线AP与圆x2+y2＝2相切 ‎（2）设Q(x0,2)，E（x1，y1）‎ 由OQ⊥OE，则⊥，可得x0x1+2y1=0‎ 而EQ：(y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0‎ d== ‎ 由x0x1+2y1=0得x0=-代入上式 得d=== 又+2=4，=4-2，代入上式得d= 所以直线EQ与圆x2+y2＝2相切。 （6分+10分）‎ 此题背景：此题以椭圆为背景，难点在于设椭圆上任意一点，得QE直线方程，证明与圆相切，体现设而不求的想法，有一定的运算推理要求。‎ ‎20.已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：＝λ1，＝λ2 ‎（1）求λ1·λ2的值 ‎（2）求证：点Q在一定直线上 解：（1）因为F(-2,0)，由BF⊥x轴，由对称性不妨设B(-2,-3)，则直线AB：y＝-(x+4)‎ 又左准线l:x＝-8，所以P(-8,6)‎ 又＝λ1，所以＝，‎ 同理由＝λ2，得＝ 又＝，所以＝ 又//，比较系数得＝，所以λ1·λ2＝ ‎（此题本质是梅涅劳斯定理，由△QAB及截线PCD，可得λ1·λ2＝，应给全分）‎ ‎（2）证明：设点C(x1,y2)，D(x2,y2)，Q(x0,y0)‎ 由＝λ1，得x1＝，y1＝ 代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48‎ 整理得：(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1＝0‎ 显然λ1≠0，所以λ1＝ 同理由＝λ2，得x2＝，y2＝ 代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48‎ 同理可得：λ2＝ 又由（1）λ1·λ2＝，所以，·＝ 整理得：x0-y0+2＝0‎ 即点Q在定直线x-y+2＝0上 ‎（6分+10分）‎ 此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。问题设计时，将几何关系用适当的向量关系表出，既体现向量和解析几何的共性，又为解题指引方向。第（1）小问充分体现了构图特点，为第（2）问埋下伏笔；第（2）体现了问题本质PF⊥QF。‎ 原题：设椭圆的左焦点为O，左准线为z，A，B是椭圆上两点，使得OA⊥OB，AB交左准线z于点P，一直线过点P且交椭圆于C、D，AD交BC于点E，如图，求证：OE⊥OP