辽宁省六校协作体2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

辽宁省六校协作体2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

‎2019—2020学年度上学期省六校协作体高三期初考试 理科数学试题 一：选择题。‎ ‎1.设集合，，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简集合N得，结合交集的定义可求结果。‎ ‎【详解】集合N可化为=；‎ 所以=。答案选D。‎ ‎【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义，弄清集合中元素所具有的形式，以及有哪些元素，在运算时要结合数轴或Venn图。‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性即可判断出结论．‎ ‎【详解】 ⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，‎ 故“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.‎ ‎4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为 当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 故选 ‎5.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.‎ ‎6.关于函数，下列叙述有误的是( ）‎ A. 其图象关于直线对称 B. 其图象关于点对称 C. 其值域是[－1,3]‎ D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。‎ ‎【详解】当时，，为函数最小值，故A正确；‎ 当时，，，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；函数的值域为[－1,3]，显然C正确；图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D正确。综上，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键。‎ ‎7.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、‎ 标准差分别为、，则 ‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.‎ ‎【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.‎ ‎【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.‎ ‎8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. 12π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2， 故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得。‎ ‎【详解】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2， 故三棱锥的外接球是以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为，半径为，所以三棱锥的外接球体积为，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查通过三视图还原几何体，以及三棱锥的外接球的体积计算，意在考查学生的直观想象和数学计算能力。‎ ‎9.下列命题中是真命题的个数是（ ）‎ ‎（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 ‎（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 ‎（4）两条直线能确定一个平面 ‎（5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：逐一分析判断每一个命题的真假.‎ 详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.‎ ‎10.定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合以及满足条件的事件A对应的面积，即可求得。‎ ‎【详解】试验包含的全部事件对应的集合是 ，满足条件的事件 ‎ ，如图所示，‎ ‎， ，所以，故选A ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算。‎ ‎11.曲线与直线有两个不同的交点，实数的范围是()‎ A. (，+∞） B. (， C. (0，) D. (，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ 由题意可得：直线l过A（2，4），B（-2，1），，又直线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即，解得k=,‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为,则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(，,故选B.‎ 解决该试题的关键是理解曲线表示的图形，结合数形结合思想得到结论。‎ ‎12.定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为（ ）‎ A. (0,+∞) B. (－∞,0)∪(3,+ ∞)‎ C. (－∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由变形得，，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集。‎ ‎【详解】由变形得，，设，所以原不等式等价于，‎ 因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力。‎ 二、填空题。‎ ‎13.i为虚数单位，设复数z满足，则z虚部是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.‎ 详解：由，可得,，可得，‎ 所以，的虚部是，故答案为 点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.‎ ‎14.若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 的展开式的通项为,‎ 令,得,即,解得.‎ ‎15.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法。‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑多面手（既会俄语又会英语的）的特殊性，按照多面手从事的工作进行分类，分别求出每种情况的选法种数，由分类加法原理即得。‎ ‎【详解】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有 ‎（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有种选法；‎ ‎（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有种选法；‎ ‎（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有种选法；‎ 共有18+36+6=60种选法。‎ ‎【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及到分类讨论思想的运用，选好标准，要做到不重不漏。‎ ‎16.．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，并且，所以，因为为双曲线左支上的一点，所以 所以双曲线的离心率的范围 考点：双曲线的性质 三、解答题 ‎17.在中，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，为的中点，求的长.‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）且，∴．------2分 ‎--------------3分 ‎．--------------6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．--------------8分 由正弦定理得，即，解得．------------10分 在中，，，‎ 所以．-------------------------12分 考点：本题考查了正余弦定理的运用 点评：正余弦定理是处理三角形边角关系的重要工具，应用时注意三角形中的性质及角的范围。‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．　‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，为棱中点，，，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由四边形为矩形，可得，再由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，利用线面垂直的判定定理可得面，即可证得平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ‎ 由题得，解得. 进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.‎ 详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥平面PBC， ‎ ‎∴CD⊥PB. ‎ ‎∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD. ‎ ‎∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD. ‎ ‎（2）设BC中点为,连接，‎ ‎，又面 面，且面 面 ，‎ 所以面. ‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，‎ 可得 ‎ 所以由题得，解得. ‎ 所以 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取. ‎ 则， ‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎19.某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.‎ ‎（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；‎ ‎（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求 的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(I) . (II) 见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 设表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则～，可求5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率. ‎ ‎(2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，. 并且有，，，……， ， . 可得ξ的分布列及的数学期望，再由错位相减法求解即可.‎ 试题解析：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即～，‎ 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率. ‎ ‎(2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，. ‎ ‎，，，……， ， . ‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎……‎ ‎……‎ 的数学期望为：‎ ‎， (1)‎ ‎. (2)‎ ‎ (1)－(2)得：‎ ‎，‎ ‎ .‎ 所以. ‎ 点睛：数学期望，方差是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平和离散程度.求解离散型随机变量的分布列、数学期望，方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望和方差.‎ ‎20.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求 的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得 .‎ 因为 ，‎ 所以.‎ 设，，‎ 根据根与系数的关系得，.‎ 则 .‎ 因，即 .‎ 整理得 令，则.‎ 所以 .‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）试讨论函数在区间上最大值；‎ ‎（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.‎ ‎【答案】(1);(2)当时,,当时，;(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2)，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得 ‎，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.‎ 试题解析： （1）由，，‎ 由于函数在处的切线与直线平行，‎ 故，解得.‎ ‎（2），由时，；时，，‎ 所以①当时，在上单调递减，‎ 故在上的最大值为；‎ ‎②当，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故在上的最大值为；‎ ‎（3）若时，恰有两个零点，‎ 由，，‎ 得，‎ ‎∴，设，，，‎ 故，‎ ‎∴，记函数，因，‎ ‎∴在递增，∵，∴，‎ 又，，故成立.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值；3.函数与不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值、函数与不等式，难题；在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式.‎ ‎22.已知直线的参数方程为 （为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数即可确定普通方程，将极坐标方程两边乘以整理计算即可确定直角坐标方程；（2）联立直线参数方程的标准形式和圆的方程，结合参数的几何意义即可求得弦长．‎ ‎【详解】（1）直线 （为参数），消去得：‎ 即：‎ 曲线，即 又，．‎ 故曲线 ‎（2）直线的参数方程为 （为参数）‎ 直线的参数方程为 （为参数）‎ 代入曲线，消去得：‎ 由参数的几何意义知，‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程与普通方程的互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去已知函数的绝对值，可得，再分情况解不等式，可得x的取值范围。（2）由（1）得当时，，不等式a+14，当时，有，解得x<-2；‎ 当时，有，解得；‎ 当时，有，解得；‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，解题关键是分段函数分段求；关于不等式恒成立问题：1,由已知条件确定不等式，2,根据x的取值范围求参数的取值范围。‎ ‎ ‎