2020版高中数学 第2章 数列 第1课时 等差数列

2020版高中数学 第2章 数列 第1课时 等差数列

第1课时　等差数列 ‎1.理解等差数列的概念.(难点) ‎2.掌握等差数列的通项公式及运用.(重点、难点) ‎3.掌握等差数列的判定方法.(重点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　等差数列的含义 阅读教材P35第一行～P35例1，完成下列问题.‎ 等差数列的概念 ‎(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.‎ ‎(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋).‎ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)‎ ‎(2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列.(　　)‎ ‎(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列.(　　)‎ ‎(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.‎ ‎(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.‎ ‎(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列.‎ ‎(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 教材整理2　等差数列的通项公式及等差中项 7‎ 阅读教材P35倒数第5行～P37例3以上部分，完成下列问题.‎ ‎1.等差中项 ‎(1)条件：如果a，A，b成等差数列.(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a＋b＝‎2A.‎ ‎2.等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3.从函数角度认识等差数列{an}‎ 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).‎ ‎(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；‎ ‎(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位.‎ ‎1.已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.‎ ‎【解析】　∵a1＝4，d＝－2，‎ ‎∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.‎ ‎【答案】　6－2n ‎2.等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________.‎ ‎【解析】　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.‎ ‎【答案】　46‎ ‎3.方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________.‎ ‎【解析】　设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.‎ ‎【答案】　－3‎ ‎[小组合作型]‎ 等差数列的判定与证明 ‎　已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数).‎ ‎(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？‎ ‎(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列.‎ 7‎ ‎【精彩点拨】　利用等差数列定义判断或证明an＋1－an为一个常数即可.‎ ‎【自主解答】　(1)欲使{an}是等差数列，‎ 则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，‎ 所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列.‎ ‎(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，‎ 所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.‎ 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，‎ 所以{an＋1－an}是等差数列.‎ 等差数列的判定方法有以下三种：‎ (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；‎ (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；‎ (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列.‎ 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.判断下列数列是否是等差数列，并给出证明.‎ ‎(1)an＝4－2n；‎ ‎(2)an＝n2＋n.‎ ‎【解】　(1)是等差数列.证明如下：‎ ‎∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n)‎ ‎＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)，‎ ‎∴{an}是等差数列，且公差为－2.‎ ‎(2)不是等差数列.证明如下：‎ ‎∵a1＝2，a2＝6，a3＝12，‎ ‎∴a2－a1≠a3－a2，‎ ‎∴{an}不是等差数列.‎ 等差中项的应用 ‎　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值. ‎ ‎【导学号：18082021】‎ ‎【精彩点拨】　将x1，x4，x5用p，q表示出来，‎ 由x1，x4，x5成等差数列，即2x4＝x1＋x5列出关于p，q的方程组求解.‎ 7‎ ‎【自主解答】　由x1＝3，得2p＋q＝3，①‎ 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得 ‎3＋25p＋5q＝25p＋8q，②‎ 由①②得q＝1，p＝1.‎ 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋).‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.若m和2n的等差中项为4,‎2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________.‎ ‎【解析】　由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8，‎ 又由‎2m和n的等差中项为5，则‎2m＋n＝10.‎ 两式相加，得m＋n＝6.‎ ‎∴m与n的等差中项为＝＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎[探究共研型]‎ 等差数列的通项公式及其应用 探究1　某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第一盏后，往后每隔‎50米安装一盏，试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？‎ ‎【提示】　设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第一盏路灯的距离记为a2，‎ 第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为an，‎ 则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列.‎ 所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，‎ a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，‎ a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，‎ a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，‎ ‎…‎ an＝a1＋(n－1)d＝50n－50，‎ 所以，第5盏路灯距离第一盏路灯‎200米，‎ 第n盏路灯距离第一盏路灯(50n－50)米.‎ 7‎ 探究2　第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？‎ ‎【提示】　设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1 896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 016，知4n＋1 892＝2 016，所以n＝31.‎ 故2016年举行的奥运会为第31届.已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量.‎ 探究3　在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an?‎ ‎【提示】　由an＝a1＋(n－1)d，①‎ am＝a1＋(m－1)d，②‎ 两式相减可得：an－am＝(n－m)d，‎ 则an＝am＋(n－m)d.‎ ‎　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；‎ ‎(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.‎ ‎【精彩点拨】　设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解.‎ ‎【自主解答】　(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，‎ 则 得 ‎∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，‎ ‎∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋).‎ 法二：∵a4＝7，a10＝25，‎ ‎∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，‎ ‎∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋).‎ ‎(2)法一：由 得 解得a1＝，d＝－.‎ ‎∴a15＝a1＋(15－1)d ‎＝＋14×＝－.‎ 7‎ 法二：由a7＝a3＋(7－3)d，‎ 即－＝＋4d，‎ 解得d＝－.‎ ‎∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.‎ ‎1.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b，‎ 得求出a1和d，从而确定通项公式.‎ ‎2.若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？‎ ‎【解】　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，‎ 得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.‎ 由题意知，－401＝－4n－1，‎ 得n＝100，即－401是这个数列的第100项.‎ ‎1.数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)‎ A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 ‎【解析】　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，‎ ‎∴{an}是公差为2的等差数列.‎ ‎【答案】　A ‎2.等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(　　) ‎ ‎【导学号：18082022】‎ A.an＝2n－5 B.an＝2n－3‎ 7‎ C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1‎ ‎【解析】　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，‎ ‎∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.‎ ‎∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，‎ ‎∴d＝2，‎ ‎∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎3.等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________.‎ ‎【解析】　设首项为a1，公差为d，‎ 由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，‎ a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，‎ 则a7＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎4.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.‎ ‎【解析】　∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.‎ ‎【答案】　39‎ ‎5.若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值.‎ ‎【解】　法一：因为{an}是等差数列，设公差为d，‎ 由a15＝8，a60＝20，得 解得 所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.‎ 法二：因为{an}为等差数列，‎ 所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列.‎ 设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第4项，‎ 所以a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4，‎ 所以a75＝a60＋d＝20＋4＝24.‎ 法三：因为{an}是等差数列，设其公差为d.‎ 因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝，‎ 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.‎ 7‎