全国高中数学联赛模拟试题(三)

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全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三)‎ 一、选择题 ‎1、 设一个四面体的体积为V1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体,其体积为V2.则为 ‎(A) (B)‎ ‎(C)常数,但不等于和 ‎ ‎(D)不确定,其值与四面体的具体形状有关 ‎2、 若集合S={n|n是整数,且22n+2整除2003n+2004},则S为 ‎(A)空集 (B)单元集 (C)二元集 (D)无穷集 ‎3、 设a是整数,关于x的方程x2+(a-3)x+a2=0的两个实根为x1、x2,且tan(arctan x1+arctan x2)也是整数.则这样的a的个数是 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)4‎ ‎4、 在十进制中,若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其余各个数字都小于其左边的数字时,则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为 ‎(A)1001 (B)1010 (C)1011 (D)1013‎ ‎5、 在正方体的8个顶点中,能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是 ‎(A)36 (B)37 (C)48 (D)49‎ ‎6、 若多项式x2-x+1能除尽另一个多项式x3+x2+ax+b(a、b皆为常数).则a+b等于 ‎(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2‎ 二、填空题 ‎7、若直线xcosq+ysinq=cos2q-sin2q(0<q<p)与圆x2+y2=有公共点,则q的取值范围是 .‎ ‎8、 在平面直角坐标系xOy中,一个圆经过(0,2)、(3,1),且与x轴相切.则此圆的半径等于 .‎ ‎9、 若常数a使得关于x的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0‎ 有惟一解.则a的取值范围是 .‎ ‎10、 设ABCD为凸四边形,AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面积S的取值范围是(a,b] .则a+b= .‎ ‎11、 f(x)=+xcosx+cos(2x)(x∈R)的最小值是 .‎ ‎12、 若k是一个正整数,且2k整除 则k的最大值为 .‎ 三、解答题 ‎13、‎ 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,左准线为l,点P在椭圆上.作PQ⊥l,Q为垂足.试问:对于什么样的椭圆,才存在这样的点P,使得PQF1F2为平行四边形?说明理由(答案用关于离心率e的等式或不等式来表示).‎ ‎14、‎ 试求出正整数k的最小可能值,使得下述命题成立:对于任意的k个整数a1,a2,…,ak(允许相等),必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk(也允许相等),且|xi|≤2(i=1,2,…,k),|x1|+|x2|+…+|xk|≠0,使得2003整除x1a1+x2a2+…+xkak.‎ ‎15、‎ ‎ 设正数a、b满足且使得关于x的不等式 ‎≥‎ ‎ 总有实数解.试求f(a,b)=a2-3ab+b2的取值范围.‎ ‎16、‎ 点P在△ABC内,且∠BAP=∠CAP,连结BP并延长交AC于点Q.设∠BAC=60°,且.‎ 求证:P是△ABC的内心.‎ ‎17、‎ 试求出所有的有序整数对(a,b),使得关于x的方程x4+(2b-a2)x2-2ax+b2-1=0的各个根均是整数.‎ ‎18、‎ 设a0=1,a1=2,an+1=2an-1+n,n=1,2,3,….试求出an的表达式(答案用有限个关于n的式子相加的形式表示,且项数与n无关).‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 C ‎3、 B ‎4、 D ‎5、 C ‎6、 C 二、填空题 ‎7、 ‎ ‎8、 ‎ ‎9、 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、 -1‎ ‎12、 2004‎ 三、解答题 ‎13、.‎ ‎14、kmin=7.‎ ‎15、(-∞,-1).‎ ‎16、证略(提示:将条件变形为,然后应用正弦定理,进行三角变换,得∠BPC=120°,利用同一法即证);‎ ‎17、(a,b)=(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)‎ ‎18、a2n=2n+2-2n-3;a2n+1=3×2 n+1-2n-4.‎
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