2017-2018学年广西南宁市第二中学高二上学期中期考试数学（理）试题

2017-2018学年广西南宁市第二中学高二上学期中期考试数学（理）试题

‎2017-2018学年广西南宁市第二中学高二上学期中期考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1.命题“若，则”的逆否命题是（　　）‎ A．若，则或 B．若，则 C．若或，则 D．若或，则 ‎2. 是方程 表示椭圆或双曲线的（ ）‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎4. 一袋中装有只黑球和只白球（），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第次和第次（）摸出的球是黑球的概率分别是和，则 （ ）‎ A. B. C. D. 和的大小与球数有关 ‎5.已知实数的运动轨迹是（ ）‎ ‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎6. 命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎7. 阅读如右图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为( )‎ A．15 B．31 C．63 D．127‎ ‎8. 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎9. 如图是NBA篮球联赛中，杜兰特和詹姆斯两名球员连续9个场次得分的茎叶图，其中甲是杜兰特，乙是詹姆斯，设甲、乙两人得分平均数分别为 ‎，中位数分别为，则下列哪个正确（ ）‎ A. B. C. D. ‎10. 若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是（ ）‎ ‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D． ‎11. 已知点A在坐标原点，点B在直线y＝1上，点C(3,4)，若AB≤，则△ABC的面积大于5的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A.　　　 　B. 　　　　C. 　　　　D. ‎13. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .‎ ‎14. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为____________.15.过抛物线的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是 _____________ . ‎ ‎16.设命题P:函数y=ax2－2x+1在［1,+∞)内单调递减, 命题Q：曲线y=x2－2ax+4a+5与x轴没有交点.如果命题P与命题Q有且只有一个正确，求a的取值范围______‎ ‎17.如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD=1，‎ ‎(1)证明：BD面SAC ‎(2)求直线BC与平面PAC的夹角的大小．‎ ‎18. 南宁二中某社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否使用“支付宝或者微信支付”的电子支付调查，若使用“支付宝或者微信支付”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.‎ 组数 分组 时尚族的人数 占本组的频率 第一组 ‎[25,30)‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎[30,35)‎ ‎195‎ p 第三组 ‎[35,40)‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎[40,45)‎ a ‎0.4‎ 第五组 ‎[45,50)‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎[50,55]‎ ‎15‎ ‎0.3‎ 请完成以下问题：‎ ‎(1)补全频率直方图，并求n，a，p的值；‎ ‎(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率．‎ ‎19. 如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．‎ ‎20. 某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．‎ ‎21. 三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.‎ ‎(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．‎ ‎22. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.‎ ‎（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；‎ ‎（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .‎ 参考答案 ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B C B C D C B A C C D ‎13.192‎ ‎14. ‎15. ‎16.或．‎ ‎17.解：‎ ‎（1）BDAC, BDSO所以BD面SAC。‎ ‎(2)如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝1，‎ 则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(－1,0,0)， 则＝(2,0,0)，，＝(1，1,0)．‎ 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，‎ 则cos〈，n〉＝＝.‎ ‎∴〈，n〉＝60°，‎ ‎∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.‎ ‎18.[解析]　(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，‎ 所以高为＝0.06.频率直方图如下：‎ 第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，‎ 所以n＝＝1000，‎ 所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，‎ 第四组的频率为0.03×5＝0. 15，第四组的人数为1000×0.15＝150，‎ 所以a＝150×0.4＝60.‎ ‎(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30＝2：1，‎ 所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．‎ 记a1、a2、a3、a4为[40,45)岁中抽得的4人，b1、b2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有：‎ ‎(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，‎ ‎(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，‎ ‎(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15个，‎ 选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种，‎ 所以所求概率为＝.‎ ‎19.解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.‎ ‎(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，‎ 直线AB的方程为y＝－(x－c)．‎ 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，‎ 得B，‎ 所以|AB|＝·＝c.‎ 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，‎ 解得a＝10，b＝5.‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，‎ ‎∴===0.5，‎ ‎=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．‎ 将2018年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：‎ ‎=0.5×9+2.3=6.8，‎ 故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎21. ‎ 解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．‎ 又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.‎ 由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.‎ 又B1O＝CO，故AC＝AB1.‎ ‎(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.‎ 又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．‎ 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O　xyz.‎ 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A，B(1，0，0)，B1，C.＝，＝AB＝，1＝BC＝.‎ 设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则 即 所以可取n＝(1，，)．‎ 设m是平面A1B1C1的法向量，‎ 则 同理可取m＝(1，－，)．‎ 则cos〈n，m〉＝＝.‎ 所以结合图形知二面角AA1B1C1的余弦值为.‎