2020年高中数学第二章平面与平面平行的性质

2020年高中数学第二章平面与平面平行的性质

‎2.2.3‎‎-2.2.4 平面与平面平行的性质 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，则(　　)‎ A．平面α∥平面ABC B．△ABC中至少有一边平行于平面α C．△ABC中至多有两边平行于α D．△ABC中只可能有一边与平面α相交 解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.‎ 答案：B ‎2.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)‎ A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2 解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，‎ ‎∴四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴CD∥AB.又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，‎ ‎∴CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，‎ 平面CDEF∩平面SAB＝EF，‎ ‎∴CD∥EF.∴EF∥AB.‎ 又∵E为SA的中点，∴EF＝AB＝1.‎ 又∵△SAD和△SBC都是等边三角形，‎ ‎∴DE＝CF＝2×sin 60°＝，‎ ‎∴四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝2＋＋1＋＝3＋2.‎ 答案：C ‎3．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(　　)‎ A．至少有一条　　　　　　 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．没有 解析：直线a和该交点确定一个平面，由线面平行的性质可得，此平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条．‎ 答案：B 5‎ ‎4．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数多条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：因为α∥β，所以两平面无公共点．因为a⊂α，B∉a，所以过a与B可以确定一个平面γ，设γ∩β＝l，γ∩α＝a，由面面平行的性质定理可知a∥l，且l是过点B的直线．‎ 答案：D ‎5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　)‎ A．E，F，G，H一定是各边的中点 B．G，H一定是CD，DA的中点 C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC 解析：由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.‎ 答案：D ‎6.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.‎ 解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN＝5.‎ 答案：5‎ ‎7．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中点，点Q是面A1B‎1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．‎ 解析：画出正方体，取A1D1中点为R(图略)，则PQR为等腰直角三角形，且两腰PR＝QR＝，故PQ＝.‎ 答案： ‎8.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则 5‎ ＝________.‎ 解析：由平面α∥平面ABC，‎ 得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，‎ 由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，‎ 从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，‎ ＝2＝2＝.‎ 答案： ‎9．已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.‎ 求证：CD∥α.‎ 证明：连接AD交平面α于G，连接GE，GF，‎ ‎∵AB∥α，平面ADB∩α＝GF，AB⊂平面ADB.‎ ‎∴AB∥GF.‎ 又∵F为BD中点，∴G为AD中点．‎ 又∵AC与AD是相交直线，确定的平面ACD∩α＝EG，‎ E为AC中点，G为AD中点，‎ ‎∴EG为△ACD中位线，∴EG∥CD.‎ ⇒CD∥平面α.‎ ‎10．如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABCA1B‎1C1中，BB1∥截面A1EDC1，求截面A1EDC1截棱台ABCA1B‎1C1成两部分的体积之比．‎ 解析：设三棱台的上、下底面的面积分别为S1和S2，高为h.‎ ‎∵＝，∴＝，∴S2＝4S1.‎ ‎∴V三棱台ABCA1B‎1C1＝(S1＋＋S2)‎ 5‎ ‎＝(S1＋＋4S1)＝.‎ ‎∵BB1∥截面A1EDC1，BB1⊂侧面BCC1B1，且侧面BCC1B1与截面交于C1D，∴BB1∥C1D.‎ 同理可证BB1∥A1E，∴C1D∥A1E.‎ ‎∵两底面互相平行，∴A‎1C1∥DE.‎ ‎∴截面A1EDC1是平行四边形，∴A‎1C1＝ED.‎ 同样可以证明B‎1C1＝BD，A1B1＝EB，‎ 即△A1B‎1C1≌△EBD.‎ ‎∴多面体BDEB‎1C1A1是棱柱，‎ 有S△A1B‎1C1＝S△BDE＝S1.‎ ‎∵三棱柱BDEB‎1C1A1的高等于三棱台 ABCA1B‎1C1的高，等于h.∴V三棱柱BDEB‎1C1A1＝S1h.‎ ‎∴三棱台被截面A1EDC1截得的另一部分的体积等于S1h－S1h＝S1h.‎ ‎∴截面A1EDC1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)‎ A．都平行 B．都相交 C．在两个平面内 D．至少和其中一个平行 解析：它可以在一个平面内与另一个平面平行，也可以和两个平面都平行，故选D.‎ 答案：D ‎2.如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动时，则M满足条件________，有MN∥平面B1BDD1.‎ 解析：取B‎1C1的中点R，连接FR，NR，可证面FHNR∥面B1BDD1，∴当M∈线段FH时有MN⊂面FHNR，∴必有MN∥面B1BDD1.‎ 答案：M∈线段FH ‎3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．‎ 解析：当点P在平面α，β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α，β在点P同侧时可求得BD＝.‎ 答案：24或 5‎ ‎4.如图所示，过正方体ABCDA1B‎1C1D1的对角线BD1作一截面分别交棱AA1，CC1于点M、Q，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，若截面BQD‎1M∥平面PAO，求的值．‎ 解析：∵平面AA1D1D∥平面BB‎1C1C，‎ 平面BQD‎1M∩平面ADD‎1A1＝D‎1M，‎ 平面BQD‎1M∩平面BCC1B1＝BQ，‎ ‎∴D‎1M∥BQ.‎ ‎∵平面BQD‎1M∥平面PAO，PA⊂平面PAO，‎ ‎∴PA∥平面BQD‎1M，‎ 又∵AP⊂平面ADD‎1A1，‎ 平面ADD‎1A1∩平面BQD‎1M＝D‎1M，‎ ‎∴AP∥D‎1M，‎ 又∵D‎1M∥BQ，∴AP∥BQ.又∵点P为DD1中点，∴点Q为CC1的中点，∴＝1.‎ ‎5.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.‎ ‎(1)求证：l∥BC；‎ ‎(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．‎ 证明：(1)∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，‎ ‎∴BC∥平面PAD.‎ 又平面PAD∩平面PBC＝l，‎ ‎∴BC∥l.‎ ‎(2)设Q为DC的中点，连接NQ，MQ，‎ ‎∵M，N分别为AB，PC的中点，‎ ‎∴NQ∥PD，MQ∥AD，‎ 可得NQ∥平面PAD，MQ∥平面PAD，‎ 而MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD，‎ 又MN⊂平面MNQ，‎ ‎∴MN∥平面PAD.‎ 5‎