高中数学必修2教案:柱、锥、台和球的体积(1)

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高中数学必修2教案:柱、锥、台和球的体积(1)

柱、锥、台和球的体积(1)‎ 教学目标:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学重点:了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学过程:‎ ‎(一)祖暅原理:‎ 祖暅(音gèng),一名祖暅之,是祖冲之的儿子,他的活动时期大约在公元504—526年.祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献.‎ 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙.‎ 根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释,下面我们使用现代的术语,并将原来的图形略加修改,把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下:‎ 作一个几何体V1.底面OABC是一个正方形,边长为r(图2-18).高 取一点S,过点S与底面平行的截面为SPQR,设它的边长为a,OS为h,则截面面积a2=r2-h2.‎ 另取一个边长为r的正方体V2(图2-19),连结O′D′,O′C′,O′A′,锥体O′-A′B′C′D′记作V3,V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体.下面来证明 V1=V2-V3.‎ 设平行于底面与底面距离为h的平面,截V2的截面是正方形P′TS′M,面积等于r2,截V3的截面是正方形Q′TR′N,面积等于h2(因为Q′T=O′T=h),所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M,它的面积等于r2-h2.‎ 比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面,它们的面积都是r2-h2,因此体积相等,即V1=V2-V3.‎ 祖暅原理的原文是“幂势既同,则积不容异.”“幂”是截面积,“势”‎ 是几何体的高.意思是:两个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么几何体的体积相等.这就是现在说的:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.‎ 积为V4(是未知数).和V1比较,在高h处的截面积C″EF是以a为半 祖暅提出的“幂势既同,则积不容异”,及“体积之比等于对应截面积之比”,在这里是当作公理使用.提法“幂势既同,则积不容异”,在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches,Prinzip).卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于1635年.‎ ‎(二)长方体的体积 ‎(三)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的长方体与柱体的体积相等,故柱体的体积为:‎ ‎(四)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的锥体的体积均相等 ‎(五)三棱住可以分割成三个体积相等的锥 故锥体的体积为 ‎(六)利用两个锥体做差可得台体的体积公式 ‎(七)例子:‎ ‎(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为[ ]‎ ‎(2)平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G,则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[ ]‎ ‎(3)如果一个正四面体的体积为9dm3,则其表面积S的值为[ ]‎ 棱锥的体积是 [ ]‎ ‎(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1,内切切圆柱体积为V2,则[ ]‎ A.V1∶V2=∶1 B.V1∶V2=2∶1‎ C.V1∶V2=4∶1 D.V1∶V2=8∶1‎ 课堂练习:教材第33页 练习A1.2、B‎1.2.3‎ 小结:‎ 本节课应了解:祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式 课后作业:教材第34页 习题1‎-1A:7、8.‎
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