2020届高三数学（理）“大题精练”12

2020届高三数学（理）“大题精练”12

‎2020届高三数学（理）“大题精练”12‎ ‎17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：‎ 消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ‎≥5次 收费比率 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：‎ 消费次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 人数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望 ‎18．的内角，，的对边分别为，，，设.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎（1）求；‎ ‎（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.‎ ‎19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、‎ 第 13 页 共 13 页 ‎，直线恒过点 ‎（1）证明：直线，的斜率之和为定值；‎ ‎（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．设函数，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎（1）当时，求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若，其中，求直线的倾斜角.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式成立，证明：‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”12（答案解析）‎ ‎17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：‎ 第 13 页 共 13 页 消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ‎≥5次 收费比率 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：‎ 消费次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 人数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望 ‎【解】（1）∵第一次消费为200元，利润为50元：第二次消费190元，利润为40元 ‎∴两次消费的平均利润为45元 ‎（2）若该会员消费1次，则 若该会员消费2次，则 若该会员消费3次，则 若该会员消费4次，则 第 13 页 共 13 页 若该会员消费5次，则 故X的分布列为：‎ ‎50‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ 的期望为（元）‎ ‎18．的内角，，的对边分别为，，，设.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.‎ ‎【解】（1）且 ‎，‎ 又，‎ ‎（2）由题意知：‎ 第 13 页 共 13 页 ‎，‎ 或（舍）（当时取“”）‎ 综上，的面积的取值范围为 ‎19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【解】（1）令的中点为，连接，，‎ ‎，‎ 且 又∵底面为边长为2的菱形，‎ 第 13 页 共 13 页 且 又 又平面，平面 又平面，∴平面平面，‎ ‎（2）过作直线于，连接 ‎∵平面，面，‎ 为二面角所成的平面角 又 ‎，‎ 第 13 页 共 13 页 ‎20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点 ‎（1）证明：直线，的斜率之和为定值；‎ ‎（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）设，直线的斜率分别为，由得 ‎，可得：，‎ ‎（2）由，令，得，即 同理，即，设轴上存在定点则 ‎，要使 第 13 页 共 13 页 为定值，即 故轴上存在定点使为定值，该定值为1‎ ‎21．设函数，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）在上单调递增，，‎ 所以存在唯一，.当，递减；‎ 当，递增.‎ 所以，‎ ‎（2），‎ 当时，，在上单调递减，‎ ‎，满足题意 当时，在上单调递增，‎ 第 13 页 共 13 页 ‎，，‎ 所以存在唯一，.‎ 当，递减；当，递增 而，.所以存在唯一.‎ 当，递增；当递减.‎ 要时，恒成立，即所以 当时，，当，递减，‎ 在递增，与题意矛盾 综上：的取值范围为 ‎22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.‎ ‎（1）当时，求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若，其中，求直线的倾斜角.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎【解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；‎ ‎（2）将直线代入得 所以直线的倾斜角为或 ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式成立，证明：‎ ‎【解】（1）解：当时 若则 若则成立 若则 综上，不等式的解集为 ‎（2）当时 第 13 页 共 13 页 第 13 页 共 13 页