2020年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法

2020年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法

‎4.1 数学归纳法 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　)‎ A．1　　　　　　　 B．1＋3‎ C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4‎ 解析：当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.‎ 答案：C ‎2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，‎ 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，‎ 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.‎ 答案：D ‎3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：a2＝＝，a3＝＝，‎ a4＝＝＝，‎ 猜想an＝.‎ 4‎ 答案：D ‎4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则(　　)‎ A．该命题对于n＞2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取什么值无关 D．以上答案都不对 解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．‎ 答案：B ‎5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　)‎ A．2π B．π C. D.π 解析：从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________．‎ 解析：f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，‎ 所以f(k＋1)＝f(k)＋－.‎ 答案：－ ‎7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．‎ 解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.‎ 答案：212‎ ‎8．已知平面上有n(n∈N*，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________．‎ 解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.‎ 4‎ 又f(2)＝1，‎ 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.‎ 答案：3　6　10　n 三、解答题 ‎9．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，‎ 即1＋＋＋…＋＝.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1＋＋＋…＋＋‎ ＝＋＝‎ ＋＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．‎ ‎10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除．‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．‎ ‎(2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除．‎ 则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)，‎ 因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除，‎ 因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除．‎ 即当n＝k＋1时结论正确．‎ 根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除．‎ B级　能力提升 ‎1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)．‎ 当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k]·[(‎ 4‎ k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．‎ 比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．‎ 答案：B ‎2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为_______________．‎ 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1‎ 答案：81·(34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋1‎ ‎3．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．‎ 解：当n＝2时，f(2)＝1；当n＝3时，f(3)＝3；‎ 当n＝4时，f(4)＝6.‎ 因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N*)．‎ 下面利用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，‎ 又f(2)＝×2×(2－1)＝1.‎ 所以n＝2时，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，‎ 当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.‎ 由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝.‎ 由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，‎ 所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，‎ 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，命题对一切n∈N*且n≥2时成立．‎ 4‎