2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题 一、单选题 ‎1．学校要从名学生干部中任意选取名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除名学生，再从余下的名学生干部中抽取名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】每位同学被选中的概率都相等，为.‎ ‎【详解】‎ 由题：甲被选中，必须首先要没有被剔除，然后再被选中，‎ 所以其概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查概率的计算，其本质反映了采取此种抽样方法对每个个体公平.‎ ‎2．对以下命题：‎ ‎①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；‎ ‎②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；‎ ‎③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；‎ ‎④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是，若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.‎ ‎【详解】‎ 随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；‎ 抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是，所以②错误；‎ 若一种彩票买一张中奖的概率是，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；‎ ‎“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.‎ ‎3．写出命题“，使得”的否定并判断的真假，正确的是（ ）‎ A．是“，”且为真 B．是“，使得”且为真 C．是“，”且为假 D．是“，使得”且为假 ‎【答案】A ‎【解析】根据特称命题的否定方式写出命题，并判断真假.‎ ‎【详解】‎ 命题“，使得”的否定：‎ 是“，”，‎ ‎，所以是真命题.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查特称命题的否定，并判断命题的真假，关键在于准确写出命题的否定，结合三角函数相关知识判断真假.‎ ‎4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据频率分布直方图的平均数与中位数的计算方式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题：第一组面积，第二组面积，所以第三组面积 平均数为：，‎ 设中位数为，，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法，准确计算.‎ ‎5．已知下表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当时的预测值是，则实数的值为（ ）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎23‎ A．18 B．20 C．21 D．22‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据当时的预测值是，求出，求出样本点的中心，根据平均数求解.‎ ‎【详解】‎ 当时的预测值是，，‎ 得，，可得，‎ ‎∴，得．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查根据回归直线特征求已知数据中的值，关键在于准确掌握回归直线必过的点，建立等式求解.‎ ‎6．设等差数列的前项和是，已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列求和公式表示出，根据结合等差数列性质求解.‎ ‎【详解】‎ 由题：等差数列中：‎ ‎．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.‎ ‎7．“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）‎ A．“” B．“”‎ C．“” D．“且”‎ ‎【答案】C ‎【解析】先解出曲线表示椭圆的充要条件，再结合选项求解.‎ ‎【详解】‎ 考虑：方程的曲线是椭圆，‎ 则：，即，‎ A是其既不充分也不必要条件，B是其充分不必要条件，C是其必要不充分条件，D是其充要条件.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据曲线表示椭圆准确求解参数的范围，准确辨析必要不充分条件的集合表示关系.‎ ‎8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.‎ ‎【详解】‎ 由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；‎ ‎③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．‎ 正确的是①③⑤⑥．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.‎ ‎9．已知圆，定点，点在圆上移动，作线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线段的中垂线上的点到两端点距离相等，转化成为定值，即可得到椭圆.‎ ‎【详解】‎ 因为线段的中垂线交于点，，则点满足：，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，所以椭圆的方程为．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查根据定义方法判定曲线轨迹为椭圆，需要熟练掌握平面图形的几何特征，根据几何关系判定曲线轨迹.‎ ‎10．已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）‎ A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意作出图形，由几何知识可知，，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示：延长F2M交PF1于D 由几何知识可知，垂直平分，而，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．‎ ‎11．如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】延长交椭圆于点，在和两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解.‎ ‎【详解】‎ 延长交椭圆于点，得，，‎ 设，则，据椭圆的定义有，，在中，，‎ 在中，．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.‎ ‎12．已知椭圆过定点，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆经过的点得出等量关系，根据构造基本不等式或换元法构造二次函数求解最值.‎ ‎【详解】‎ 由题意有，．‎ 当时取得等号，即时，取得最大值.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查根据椭圆上的点的坐标建立等量关系，利用基本不等式或二次函数求解最值，需要注意求最值一定考虑最值成立的条件能否取到.‎ 二、填空题 ‎13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】至少需要等待秒才出现绿灯说明该行人在红灯亮起前秒内到达该路口，根据几何概型求解.‎ ‎【详解】‎ 行人在红灯亮起秒内到达该路口，则至少需要等待秒才出现绿灯，‎ 根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.‎ ‎14．设，则“”是“”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】一定能推出，但是不能推出，所以不能得出，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎“”的充要条件是，是的充分不必要条件，则“”是“”的充分不必要条件．‎ 故答案为：充分不必要 ‎【点睛】‎ 此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.‎ ‎15．设函数，已知，使得当时，有解，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得：有解，只需即可，根据题意求出最小值解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，只需，，即，‎ 就一定，使得当时，有解，‎ 故．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.‎ ‎16．设数列满足，，，则：‎ ‎（1）______；‎ ‎（2）数列中最小项对应的项数为______．‎ ‎【答案】1010 9或10 ‎ ‎【解析】（1）根据递推关系：当为奇数时，，即可求解；‎ ‎（2）当为偶数时，结合求出公式，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当为奇数时，，‎ 即，．‎ ‎（2）由，知 ‎，‎ 于是，由对勾函数的性质知，或．‎ 故答案为：（1）1010；（2）9或10.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.‎ 三、解答题 ‎17．内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得，从而得．‎ ‎（2）用余弦定理求得，再由三角形面积公式可得三角形面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 由正弦定理，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，，‎ 由余弦定理得，‎ 解得或，均适合题.‎ 当时，的面积为.‎ 当时，的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．‎ ‎18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法，抽取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在内的车辆中任意抽取辆，求车速在内的车辆至少有一辆的概率．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为，使其左右两侧频率相等，列方程求解；‎ ‎（2）求出车速在有2辆，车速在有4辆，根据古典概型求解概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为．‎ 设中位数的估计值为，‎ 由，，得．‎ 所以，解得，‎ 即中位数的估计值为．‎ ‎（2）从题图中可知，车速在内的车辆数为，‎ 车速在内的车辆数为．‎ 记车速在内的两辆车为，车速在内的四辆车为，‎ 则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，‎ 其中车速在内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：，‎ 所以车速在内的车辆至少有一辆的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据频率分布直方图求众数和中位数，结合直方图的特征求解频数，利用古典概型求解概率，考查基础知识.‎ ‎19．设双曲线，正项数列满足，对任意的，，都有是上的点．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，是否存在正整数，使得与有相同的渐近线？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） （2）存在，‎ ‎【解析】（1）根据曲线方程求出，得出等差数列的通项公式即可求解；‎ ‎（2）使用裂项相消求和，求得，结合渐近线方程求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题，，‎ 即，，，故是以为首项，为公差的等差数列，‎ 故，又，于是．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 的渐近线方程为，的渐近线方程为，‎ 故，即，故．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查圆锥曲线与数列的综合应用，涉及数列通项的求法，数列的裂项求和，与双曲线几何性质的综合使用.‎ ‎20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售单价(元)‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ ‎8‎ 销售量(件)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎14.2‎ ‎（1）根据1至5月份的数据，先求出关于的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入－成本）．‎ 参考数据：，．‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎【答案】（1），理想 （2）单价定为元/件时，获得的利润最大 ‎【解析】（1）求出平均数，根据公式求解回归直线方程，结合给定数据检验是否理想；‎ ‎（2）根据单价和销量得出利润关于单价的函数关系，根据函数求解最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，‎ 所以，则，‎ 于是关于的回归直线方程为．‎ 由6月数据有：，此时，，‎ 则，‎ 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．‎ ‎（2）令销售利润为，则，‎ 因为，‎ 当且仅当，即时，取最大值．‎ 所以该产品的销售单价定为元/件时，获得的利润最大．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求线性回归直线方程，并检验回归直线是否理想，关键在于根据公式准确计算，建立函数模型，求解利润最大的问题.‎ ‎21．已知椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（1）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求该直线的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；‎ ‎（2）设直线的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段的垂直平分线方程，得出的表达式，利用函数关系求解取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，得，解得 所以椭圆的标准方程是．‎ 设点，，则 两式相减得，‎ 又，，代入得，即，‎ 故所求直线的方程是，即．‎ ‎（2）（i）当直线与轴垂直时，，符合题意．‎ ‎（ii）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，．‎ 联立方程 消去，可得，易知．‎ 设，，线段的中点为，‎ 则，，‎ 所以，‎ 所以线段的中点的坐标为．‎ 由题意可知，，，‎ 故直线的方程为．‎ 令，得，即．‎ 当时，得，当且仅当时等号成立；‎ 当时，得，当且仅当时等号成立．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求椭圆方程，利用点差法解决中点弦问题，讨论直线与椭圆形成弦的中垂线与坐标轴交点坐标的取值范围，此题也可设直线的方程为求解．‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）若命题：“，”是真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若，，，，求的最小值；‎ ‎（3）若，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）4 ；（3）‎ ‎【解析】（1），，结合单调性只需即可求解；‎ ‎（2）化简结合基本不等式求解最值；‎ ‎（3）根据单调性，转化为，对任意的成立，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题，当时，，，‎ 所以在上单调递减．‎ 故，即，解得．‎ ‎（2）由，，及基本不等式得，，‎ 故 ‎，‎ 等号当且仅当时成立．‎ 故的最小值为．‎ ‎（3）由（1）知在上单调递减．‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为，．‎ 即，‎ 对任意的成立．‎ 因为，所以函数在区间上单调递增，‎ 时，有最小值，由，得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查对数型复合函数相关知识，涉及单调性讨论最值，利用基本不等式求最值，根据不等式恒成立求参数最值，综合性强.‎