数学理卷·2018届四川省成都市龙泉中学高三4月月考（2018

数学理卷·2018届四川省成都市龙泉中学高三4月月考（2018

成都龙泉中学2018届高三下学期4月月考试题 数 学（理工类）‎ ‎（考试时间：120分钟 全卷满分：150分 ）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5.考试结束后，请将答题卡上交；‎ 第Ι卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2.复数满足，若复数对应的点为，则点到直线的距离为 A. B. C. D.‎ ‎3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则 A. B. C. D.‎ ‎5.设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为6，则的值为 A． B．4 C．8 D．16 ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 2π－ B.2π－ C. D. 2π－2‎ ‎7. 圆截直线所得弦长为2，则实数等于【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎8.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是 ‎ ‎ A.各月的平均最高气温都不高于25度 ‎ B.七月的平均温差比一月的平均温差小 C.平均最高气温低于20度的月份有5个 ‎ D.六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 ‎ ‎9．已知，则等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎10.阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 A.1234 B.2017 C.2258 D.722 ‎ ‎11.已知半径为5的求被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为 A． B． ‎ C．或 D． 或 ‎ ‎12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 ‎13．已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 . ‎ ‎14.在矩形A BCD中，AB=4,BC=2,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为____________. ‎ ‎15.若变量满足约束条件，则的最小值为 . ‎ ‎16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果 计算： =　 　．‎ ‎ ‎ 三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；‎ ‎（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源．因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示．‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎4‎ ‎5‎ 机动车保有量（万辆）‎ ‎169‎ ‎181‎ ‎196‎ ‎215‎ ‎230‎ ‎（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；‎ ‎（2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；‎ ‎（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．‎ 附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=，．‎ ‎(Ⅰ)证明：平面POC⊥平面PAD；‎ ‎(Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，若以为直径的圆过点，求实数的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知a是实常数,函数f(x)=xln x+ax2.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,-2),求实数a的值;‎ ‎(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1f(x1)>-错误！未找到引用源。.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的极坐标方程；‎ ‎（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值．　‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．‎ 成都龙泉中学2018届高三下学期4月月考试题 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 BDABA 6—10 ADCCA 11—12 CC ‎13. 14.18 ‎ ‎15.【解析】画出可行域如图阴影部分，‎ 表示可行域内的点到定点的距离的平方减去，连接交圆于点，‎ 则点为可行域内到点距离最小的点，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎16.76 解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，‎ 得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，‎ 令g″（x）=0，解得：x=1，‎ ‎∴函数g（x）的对称中心是（1，4），‎ ‎∴g（2﹣x）+g（x）=8，‎ 故设=m，‎ 则g（）+g（）+g（）+…+g（）=m，‎ 两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，‎ 故答案为：76．‎ ‎17.解：（1）由，∴f（x）的周期为4π．‎ 由，故f（x）图象的对称中心为．‎ ‎（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，‎ ‎∴．∴，‎ 故函数f（A）的取值范围是．‎ ‎18.解：（1）数据对应的散点图如图所示.‎ 第18题图 ‎（2），，，‎ 所以回归直线方程为．‎ ‎（3）代入2017年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆． ‎ ‎19.解：（Ⅰ）在四边形OABC中，‎ ‎∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，‎ ‎∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分 在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分 又，∴OC⊥平面PAD，‎ 又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分 ‎（Ⅱ）解法1：由O是AD中点，PA=PD，得PO⊥AD；‎ 以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz， ---------- 7分 得，，，，，‎ 得，，，‎ 设是平面PAB的一个法向量，‎ 则，得，取z=1，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 得， ------------------------10分 设CD与平面PAB所成角为，‎ 则，‎ ‎∴，即CD与平面PAB所成角的余弦值为． --------------12分 解法2：连结OB，‎ ‎∵OD//BC，且OD=BC ∴BCDO为平行四边形，∴OB//CD, ------------7分 ‎ 由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，‎ E ‎∵AB平面，∴平面PAB⊥平面PAD，---------------------8分 过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，‎ ‎∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，--------------10分 在Rt△OEB中，∵,,‎ ‎∴,‎ ‎ 即CD与平面PAB所成角的余弦值为． -------------------12分 ‎20．解：‎ ‎（1）设、，‎ 由已知可得①‎ 又可求，‎ 所以，即②【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 又③，由①②③可求得 所以 . …………6分 ‎（2）由题意知：.设， ‎ 则，所以 又点在椭圆C上，所以 若以为直径的圆过点，则 所以 ‎ 又点是不同于，所以 ‎ ‎ 所以 …………12分 ‎21（本小题满分12分）‎ ‎(1)解:由已知可得,f'(x)=ln x+1+2ax(x>0),切点P(1,a),---------------1分 f(x)在x=1处的切线斜率为k=1+2a, ‎ 切线方程:y-a=(2a+1)(x-1),-------------3分 把(0,-2)代入得a=1.----------4分 ‎(2)证明:①依题意:f'(x)=0有两个不等实根x1,x2(x10).‎ 当a≥0时,有g'(x)>0,所以g(x)是增函数,不符合题意;---------5分 列表如下:‎ x ‎-错误！未找到引用源。‎ g'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 依题意:g错误！未找到引用源。=ln错误！未找到引用源。>0,解得-错误！未找到引用源。0,‎ 由表可知:f(x)在[x1,x2]上为增函数,-----10分 所以f(x2)>f(x1).‎ 又f'(1)=g(1)=1+2a>0,故x1∈(0,1),‎ 由(1)知:ax1=错误！未找到引用源。,f(x1)=x1ln x1+a错误！未找到引用源。(x1ln x1-x1)(0h(1)=-错误！未找到引用源。,也就是f(x1)>-错误！未找到引用源。.‎ 综上所证:f(x2)>f(x1)>-错误！未找到引用源。成立.-----------12分 ‎ ‎22．解：（1）由抛物线的定义得：，‎ 即：．‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎，当且仅当时等号成立，故的最大值为． ‎ ‎23．解：‎ ‎（1）当等价于 当时，不等式化为，无解 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为恒成立，‎ 综上所述，不等式解集为 …………5分 ‎（2）因为 ‎ ‎ （当且仅当时，等号成立）‎ ‎ 设 ，设，‎ ‎，（当等号成立） ‎ ‎ 要使的解集为,则 的取值范围为 …………10分