数学文卷·2017届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测（2017

数学文卷·2017届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测（2017

东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 （文科）‎ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________‎ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）集合，，那么 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）或 ‎（2）在复平面内，复数，那么 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知实数满足 那么的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）已知函数 (其中)的部分图象,如图所示.‎ 那么的解析式为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） 　（D）‎ ‎（5）下列四个命题： ‎ ‎ ①，使；‎ ‎ ②命题“”的否定是“，”；‎ ‎ ③如果，且，那么；‎ ‎ ④“若，则”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是 ‎ ‎（A）① （B）② （C）③ （D）④‎ ‎（6）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的 直线 ‎ ‎（A）有且仅有一条 （B）有且仅有两条 ‎（C）有无穷多条 （D）不存在 ‎（7）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，‎ 下面三个结论：‎ ① 估计样本的中位数为元；‎ ② 如果个税起征点调整至元，估 ‎ 计有的当地职工会被征税； ‎ ③ 根据此次调查，为使以上的职 工不用缴纳个人所得税，起征点应 调整至元. ‎ 其中正确结论的个数有 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）对于给定的正整数数列，满足，其中是的末位数字，下列关于数列的说法正确的是 ‎（A）如果是的倍数，那么数列与数列必有相同的项；‎ ‎（B）如果不是的倍数，那么数列与数列必没有相同的项；‎ ‎（C）如果不是的倍数，那么数列与数列只有有限个相同的项；‎ ‎（D）如果不是的倍数，那么数列与数列有无穷多个相同的项.‎ ‎ ‎ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）执行如图所示的程序框图，则输出的值为___.‎ ‎（10）一个四棱锥的三视图如图所示(单位：)，这个四棱锥的体积为____.‎ ‎（11）的内角的对边分别为，若，则等于____.‎ ‎（12）双曲线 的右焦点为圆 的圆心，则此双曲线的离心率为 .‎ ‎（13）每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间，在这个时间窗口内，飞机均有可能降落.甲航班降落的时间窗口为上午点到点，如果它准点降落时间为上午点分，那么甲航班晚点的概率是____；若甲乙两个航班在上午点到点之间共用一条跑道降落，如果两架飞机降落时间间隔不超过分钟，则需要人工调度，在不考虑其他飞机起降的影响下，这两架飞机需要人工调度的概率是_____. ‎ ‎ ‎ ‎（14）已知函数.当时，函数的单调递增区间为 ；若函数有个不同的零点，则的取值范围为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ ‎ 已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若（）.‎ ‎ （Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ ‎ 已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）如果点是角终边上一点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的单调增区间.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 年月日，诺贝尔生理学或医学奖揭晓，获奖者是日本生物学家大隅良典，他的获奖理由是“发 现了细胞自噬机制”.在上世纪年代初期，他筛选了上千种不同的酵母细胞，找到了种和自噬有关 的基因，他的研究令全世界的科研人员豁然开朗，在此之前，每年与自噬相关的论文非常少，之后呈现 了爆发式增长，下图是年到年所有关于细胞自噬具有国际影响力的 篇论文分布如下：‎ ‎ （Ⅰ）从这篇论文中随机抽取一篇来研究，那么抽到年发表论文的概率是多少？‎ ‎ （Ⅱ）如果每年发表该领域有国际影响力的论文超过篇，我们称这一年是该领域的论文“丰年”.‎ 若从年到年中随机抽取连续的两年来研究，那么连续的两年中至少有一年是“丰年”的概率是多少？‎ ‎ （Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年论文数量方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎（18）（本小题13分）‎ ‎ 已知和是两个直角三角形，，、分别是边、的中点，‎ 现将沿边折起到的位置，如图所示，使平面平面.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎ （Ⅲ）请你判断，与是否有可能垂 ‎ 直，做出判断并写明理由.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ ‎ 已知椭圆的右焦点为，离心率，点 在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ） 设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为， 的面积为，且，求直线的方程.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ ‎ 设函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若，求证：是函数在时单调递增的充分不必要条件.‎ 东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ ‎（5） （6） （7） （8） ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） ‎ ‎（11） （12）‎ ‎（13） ； （14）,‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为等差数列的首项和公差都为2，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以数列是以4为首项和公比的等比数列； ………………………………8分 ‎（Ⅱ）解：因为，‎ ‎ 等差数列的前项和，‎ ‎ 等比数列的前项和 ‎ 所以的前项和. ………………………………13分 ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知： -------2分 ‎ = -------6分 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎------------8分 ‎ = -----------10分 ‎ 由得： -----------12分 ‎ 的单调增区间为 ----------13分 ‎（17）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设抽到年发表的论文为事件A，依题意可知，‎ ‎ ； 　　　　 　 ………5分 ‎ （Ⅱ）设至少抽到一个“丰年”为事件B，依题意可知，‎ 的年中随机抽取连续两年共有种可能，‎ 至少一个“丰年”的可能情况有：，，，，，，共计7种可能，‎ ‎ ； ………11分 ‎ （Ⅲ）三个数方差最大，‎ ‎ 所以从2013年开始，连续三年论文数方差最大. 　 ………13分 ‎（18）（共13分） ‎ ‎（Ⅰ）因为、分别是边、的中点，‎ ‎　　　所以 ‎　　　因为平面，平面， ‎ 所以平面. ------------4分 ‎（Ⅱ）因为平面　平面，‎ ‎　　　　　平面平面，‎ ‎　　　　　平面，‎ ‎　　　　　，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以 平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ------------10分 ‎（Ⅲ）结论： 与 不可能垂直.‎ ‎　理由如下：‎ ‎　假设，‎ ‎　因为，，‎ ‎　所以平面，‎ ‎　因为平面，‎ ‎　所以与矛盾，故 与 不可能垂直. ----------------13分 ‎（19）（共14分） ‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ ‎　　　　所以　　‎ ‎ 　　所以椭圆的方程为. --------------‎ ‎ 4分 ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为)， 代入，‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ 因为直线过椭圆的右焦点，‎ ‎　　所以方程有两个不等实根．‎ ‎ 设，‎ ‎　　　则， ‎ ‎ ‎ 因为，‎ ‎　　　所以， ‎ 所以，‎ 解得， ‎ ‎∴直线的方程为 --------------------- 14分 ‎（20）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由得.‎ ‎ 当时，，，，‎ ‎ 求得切线方程为 ‎ ……………………4分 ‎ （Ⅱ）令得.‎ ‎ 当，即时，时恒成立，单调递增，‎ ‎ 此时.‎ ‎ 当，即时，时恒成立，单调递减，‎ ‎ 此时.‎ ‎ 当，即时，时，单减；‎ ‎ 时，单增，此时.‎ ‎ ……………………9分 ‎ （Ⅲ）.‎ ‎ 当时，时，，恒成立，‎ ‎ 函数在时单调递增，充分条件成立；‎ ‎ 又当时，代入.‎ ‎ 设，，则恒成立 ‎ 当时，单调递增.‎ ‎ 又，当时，恒成立.‎ 而，‎ ‎ 当时，恒成立，函数单调递增. ‎ ‎ 必要条件不成立 ‎ 综上，是函数在时单调递增的充分不必要条件. ……………………14分