备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：函数的零点

备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：函数的零点

函数的零点问题 典型例题： ‎ 例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则【 】‎ A．或2 B．或‎3 C．或1 D．或1‎ ‎【答案】A[来源:学科网]‎ ‎【考点】导数的应用。‎ ‎【解析】若函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴当时，函数取得极值。‎ 由或可得或，即。故选A。‎ 例2. （2012年北京市文5分）函数的零点个数为【 】‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】幂函数和指数函数的图象。‎ ‎【解析】函数的零点个数就是（即）解的个数，即函数和的交点个数。如图，作出图象，即可得到二者交点是1 个。所以函数的零点个数为1。故选B。‎ 例3. （2012年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【 】‎ ‎（A）0 　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3[来源:学科网]‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。‎ ‎【分析】∵，∴函数在定义域内单调递增。‎ ‎ 又∵，。‎ ‎ ∴函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选B。‎ 例4. （2012年辽宁省理5分）设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为【 】‎ ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎【答案】B。[来源:学科网]‎ ‎【考点】函数的奇偶性、对称性、函数的零点。‎ ‎【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，‎ 当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B。‎ 例7. （2012年福建省文14分）已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.‎ ‎（I）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（II）判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．‎ ‎【答案】解：（I）由已知f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，‎ 对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0。‎ 当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；‎ 当a＜0，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，‎ 又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－‎ ，不合题意；‎ 当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，解得a＝1。[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 综上所述，函数f(x)的解析式为f(x)＝xsinx－。‎ ‎（II）f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。证明如下：‎ ‎ 由（I）知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0。‎ 又f(x)在上的图象是连续不断的，所以f(x)在内至少存在一个零点。‎ 又由（I）知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且仅有一个零点。‎ 当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.‎ 由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m∈，使得g(m)＝0。‎ 由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减。‎ 当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，‎ 故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；‎ 当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．‎ 又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点。‎ 综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点，利用导数研究函数的极值。‎ ‎【解析】（I）由题意，可借助导数研究函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，在上的单调性，确定出最值，令最值等于 ，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解。[来源:Z。xx。k.Com][来源:Zxxk.Com]‎ ‎（II）借助导数研究函数f(x)在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数。‎