2018-2019学年江西省临川第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省临川第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省临川第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集， ， ，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对集合化简，然后求出。‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ，‎ 因此，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算。斛决本题的关键是对集合元素的认识，它是求函数在给定区间上的值域。‎ ‎2．直线与曲线相切于点，则的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把切点的坐标代入直线解析式中，直接求出的值。‎ ‎【详解】‎ 因为直线与曲线相切于点，‎ 所以直线经过点，，故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知点的坐标求直线斜率。‎ ‎3．已知 ，，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式 ，进行计算。‎ ‎【详解】‎ 因为 ，‎ 所以本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求向量的模。一股的方法是遇模则平方，然后开算术平方根。‎ ‎4．对任意非零实数已知 ，若的运算原理如图所示，那么( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的值，然后与进行比较，按程序框图进行运行，输出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ，‎ 本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图。‎ ‎5．已知命题．若命题是假命题，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题是假命题是真命题对任意恒成立，故选D.‎ 点睛:判断一个语句是否为命题,要看它是否具备是陈述句和可以判断真假这两个条件,只有这两个条件都具备的语句才是命题;判断一个命题的真假,首先要分清命题的条件和结论,对涉及数学概念的命题真假的判断,要以数学定义,定理为依据,从概念的本身入手进行判断.本题的解题关键为正确理解逻辑联结词的含义,不但要看命题中是否含有逻辑联结词,而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义.‎ ‎6．设，则“”是“”的( )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：‎ 设，则“”是“” 的( )条件，这样可以先判断这个命题题设与结论成立的条件，然后进行判断。‎ ‎【详解】‎ 由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：‎ 设，则“”是“” 的( )条件，‎ 题设： （，，‎ 结论： （，，‎ 显然由题设不一定能推出结论，但是从结论一定能推出题设，故本题选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分条件和必要条件的判断。通过原命题与逆否命题是等价问题，使不等式的问题变得简单。‎ ‎7．若平面平面，直线，直线，且，则( )‎ A． B．且 C． D．和 中至少有一个成立 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过四个选项可以知道，本题就是在若平面平面，直线，直线，且，这个条件下，和 这二个结论是同时成立，还是至少有一个成立，还是只有一个成立的问题，统一分类讨论，得出结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若垂直两个平面的交线，那么的关系不确定；‎ ‎（2）若垂直两个平面的交线，那么的关系不确定；‎ ‎（3）若都不垂直于两个平面的交线，‎ 过上不在交线上一点，做交线的垂线，则 垂直两平面的交线，这与都不垂直于两个平面的交线相矛盾，故假设不成立，因此至少有一个垂直两平面的交线，‎ 所以，和 至少有一个成立，故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法的应用。本题综合考查了线线、线面、面面之间的垂直关系。‎ ‎8．已知正数满足，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正数满足，画出可行解域，把目标函数进行化简，得到，求的最大值，就是求出的最大值，结合可行域，求出。‎ ‎【详解】‎ 正数满足，如下图所示：‎ ‎，‎ 由，可得，由于2>1所以问题转化求的最大值，结合可行域，可以得到点的横坐标，纵坐标都是最大的，故点是所求的点，解方程组 ‎，解得，因此，的最大值是，故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题。‎ ‎9．已知双曲线上一点到的距离为，为坐标原点，且，则 ( )‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，说明是的中点，设双曲线另个焦点为，当点分别在左支和右支时，利用双曲线的定义和中位线定理可以求出。‎ ‎【详解】‎ 设双曲线另个焦点为，因为 所以是的中点，‎ 由中位线定理知.‎ 当在右支时，由双曲线定义可知：‎ 当在右支时，由双曲线定义可知：故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义。要注意到点在不同位置时，等式的不同。‎ ‎10．已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的图像关于直线对称，可以得出,且,可以求出,两式相减，利用已知，可以求出的最小值。‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像关于直线对称，‎ 所以（1），由，可知（2），‎ ‎（1）—（2）得，，‎ 又因为 所以的最小值是2，本题选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的对称性、零点。‎ ‎11．动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面交于两点，设，的面积是，则函数的图像大致为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和正方体特征，分析点在对角线上运动过程中，随的变化情况及变化的速度，对照选项选出正确的图象。‎ ‎【详解】‎ 由题可知，平面,其轨迹经过和侧棱的中点，如下图所示：‎ 设对角线的中点为。‎ ‎（1）当点在线段上时，如下图所示：‎ 当增大时，随着线性增加，,则函数的图像应为开口向上的二次函数递增的一部分，可排除；‎ ‎（2）当点在线段上时，如下图所示：‎ 当增大时，随着线性增加，,则函数的图像应为开口向下数递减的一部分，可排除，故本题选。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力。‎ ‎12．已知，在处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）‎ ‎① ② ③ ④ ⑤‎ A． ①④ B． ②④ C．②⑤ D．③⑤‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，。因为在处取得最大值，则，，化为，所以，②正确。另外，令，则 ‎，，即有，所以函数的零点落在，由知，函数的零点为，故，④正确。故选Ｂ。‎ 考点：函数的零点；函数的最大值 点评：函数在某处取得最值，则函数在此处的导数为０.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 ‎13．__________.‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的性质可以把原式化为：=+，可以分别求出 和 的值，最后把它们相加求出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎=+，‎ 先求的值： ，‎ 是上的奇函数，所以=0；‎ 表示的是如下图所示的阴影部分的面积：‎ ‎， ,‎ ‎，‎ ‎ 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分的计算。解决此类问题的关键是掌握定积分的性质及它的几何意义。‎ ‎14．已知：函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间； ‎ ‎（2）当时， 函数的值域是，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角降幂公式、两角和的正弦公式，化简函数，再求出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）分类讨论，根据函数的值域，求出的值，再计算的值。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎（1）当时,函数 当时, 是增函数,‎ 函数的单调递增区间为 ‎（2）当时, 由题意得： ‎ 当时, 由题意得： ‎ 综上知: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的增区间，也考查了已知正弦型函数的值域，求参数问题。‎ ‎15．已知：在与时都取得极值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在区间，上不单调，求的取值范围 。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，由题意可知，在与时都取得极值，也就是与时，它们的导函数值为零，得到方程组，求解这个方程组，可求出的值。‎ ‎（2）若在区间，上不单调，也就是说明至少有一个极值点在内，列出不等式，求解不等式，求的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 在与时都取得极值 ‎ ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎ 在，处分别取得极大值与极小值 ‎ 在区间上不单调，两个极值点至少有一个在区间内，‎ 故或，解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数极值，求函数解析式，也考查了已知函数单调性的特征，求参数的取值范围。‎ ‎16．某名校从年到年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。（为了方便计算，将年编号为，年编为，以此类推……）‎ 年份 人数 ‎（1）将这年的数据分为人数不少于人和少于人两组，按分层抽样抽取年，问考入清华、北大的人数不少于20的应抽多少年？在抽取的这年里，若随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于的概率是多少？；‎ ‎（2）根据最近年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测年该校考入清华、北大的人数。（结果要求四舍五入至个位）‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）年，‎ ‎（2）与之间的线性回归方程，预测年该校考入清华，北大的人数为人。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先统计出人数少于20人有几年，人数不少于20人的有几年，这样按分层抽样抽取5年，这样就可以求出考入清华、北大的人数不少于5的应抽多少年，然后求出随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于的概率。‎ ‎（2）按照公式求出，最后求出与之间的线性回归方程，当，代入线性回归方程中，就可预测年该校考入清华、北大的人数。（格外要注意结果要求四舍五入至个位）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在这10年里，人数不少于人有4年，少于20人的有6年，分层抽样抽取5年，所以抽取人数不少于 人有2年，少于20人的有3年；随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于为事件，则。‎ ‎（2）计算出，代入所给的公式中，‎ 得，与之间的线性回归方程，当时，，‎ 所以与之间的线性回归方程，预测年该校考入清华，北大的人数为人。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样、概率、线性回归方程。‎ ‎17．如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）若是线段上的一点 ，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？ 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）存在,当时，知平面.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，找到二面角的平面角，求出侧棱长。‎ 利用等积法，，可以求出点到平面的距离；‎ ‎（2）根据（1）可以计算出，所以当时，有线线平行，就可以证明出线面平行。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设为的中点，则，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有 为二面角的平面角，‎ 如下图所示：‎ ‎ ，,‎ ‎ 侧棱；‎ ‎ ‎ 又 ,知 点 到平面的距离 ‎（2）由（1）可知，，，，当时，有 成立，而 平面 ，所以 平面，故存在，当时，符合题意。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用等积法求点到面的距离问题、线面平行是否存在问题。‎ ‎18．已知：函数.‎ ‎（1）此函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）； （2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，求出在点处切线的斜率，求出直线 的斜率，根据两直线平行，得到等式，求出实数的值。‎ ‎（2）方法一：在条件下，先取特殊值满足不等式，求出的最大值，再证明当时，不等式恒成立；‎ 方法二：当时，恒成立，转化为对恒成立，求的最小值大于.通过二次求导法，求出的最小值的取值范围，最后求出的最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ 点处的切线与直线平行 ‎ ‎ ‎（2）法一：当时，恒成立， ‎ 令，有，‎ 又为正整数，的最大值不大于.‎ 下面证明当时，恒成立，‎ 即证当时，恒成立.‎ 令，‎ 则，当时，；‎ 当时，，当时，‎ 取得极小值.‎ 当时，恒成立.‎ 法二：当时，恒成立，‎ 即对恒成立.‎ 即的最小值大于.‎ ‎ 记，‎ 则，在上连续递增，‎ 又，‎ 存在唯一实根，且满足：，‎ 由时，，；‎ 时，，知；‎ 的最小值为 ‎ ‎ 的最大值为3, 的最大值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义、两直线平行满足的条件。重点考查了用二次求导法求不等式恒成立时，参数的取值问题。‎ ‎19．已知曲线是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段是过曲线右焦点的一条弦，是弦的中点。‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）求点到轴距离的最小值；‎ ‎（3）若作出直线，使点在直线上的射影满足.当点在曲线上运动时，求的取值范围. ‎ ‎（参考公式：若为双曲线右支上的点，为右焦点，则.（为离心率））‎ ‎【答案】（1）； （2）点到轴距离的最小值为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知设双曲线的右支方程，离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，可以得到的关系，一条渐近线方程是，可以得到的关系，而，三个等式联立，可以求出的值，最后求出双曲线的右支方程，别忘记写上的取值范围。‎ ‎（2）根据斜率是否存在进行分类讨论：当存在斜率时，设出直线方程与双曲线右支方程联立，求出满足条件的斜率取值范围，根据一元二次方程根与系数的关系求出点的横坐标的大小，求出点到轴距离的取值范围。当不存在斜率时，求出点到轴距离，综合两种情形得出结论。‎ ‎（3）由可以得到，这样可以求出与的关系，由焦半径公式可以求出，两个式子联立，可以求出点的横坐标，利用（2）的结论，可以求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，所以有①，一条渐近线方程是所以有②，而③，三个方程联立，可求出，所以曲线的方程是：‎ ‎（2）由（1）知，曲线的右焦点的坐标为，若弦的斜率存在，‎ 则弦的方程为：，代入双曲线方程得：‎ ‎.‎ 设点， ，‎ 由，解得：，点到轴距离：‎ 而当弦的斜率不存在时，点到轴距离。‎ 所以点到轴距离的最小值为.‎ ‎（3）点在直线上的射影满足，‎ ‎，到直线的距离……①‎ 由焦半径公式 ‎ ……②‎ 将②代入①，得：‎ ‎，， .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线右支方程、直线与双曲线右支的位置关系、利用给出的焦半径公式进行求解。‎ 评卷人 得分 三、填空题 ‎20．已知的三个内角成等差数列，且，，则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的三个内角成等差数列，能求出角的大小，运用正弦定理可以求出 ‎，由大边对大角可知，，所以为锐角，利用同角的三角函数关系可以求出的值。‎ ‎【详解】‎ 已知的三个内角成等差数列,，而由三角形内角和定理可知：，,由正弦定理可知：‎ ‎,‎ 由大边对大角可知，，所以为锐角,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，同角三角函数的关系、等差中项。‎ ‎21．在矩形中，，，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，分别过两点作，，垂足为,利用勾股定理求出相应线段的长，再利用空间向量的线性关系表示求出，求出它的模。‎ ‎【详解】‎ 分别过两点作，，垂足为,如下图所示：‎ 根据勾股定理可求出：，‎ 沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用空间向量求两点之间的距离。‎ ‎22．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若数列递增，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要想数列递增，只需对于 ，恒成立即可，分类讨论求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为数列递增，所以在条件下恒成立，‎ ‎，‎ 当为奇数时，，‎ 当为偶数时，，‎ 综上所述的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知数列的单调性求参数的取值范围问题。‎