数学理·湖北省恩施州建始一中2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·湖北省恩施州建始一中2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年湖北省恩施州建始一中高三（上）9月月考数学试卷 （理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题正确的有（　　）‎ ‎①（1﹣）8的展开式中所有项的系数和为0；‎ ‎②命题p：“∃x∈R，x02﹣x0﹣1＞1”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；‎ ‎③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）=p，P（﹣1＜X＜0）=﹣p；‎ ‎④回归直线一定过样本点的中心（，）．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．若 sinθ＞0，cosθ＜0，，则θ所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知tan=，且x在第三象限，则cosx=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（　　）‎ A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 ‎6．定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（﹣4，﹣2]时，f（x）≤有解，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，0）∪（0，1） B．[﹣2，0）∪[1，+∞） C．[﹣2，﹣]∪[1，] D．[﹣2，﹣]∪[1，+∞]‎ ‎7．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{2} D．{1，2}‎ ‎8．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（　　）‎ A．2 B．2 C． D．1‎ ‎9．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎10．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）‎ A．A=N*，B=N B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}‎ C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q ‎11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图象关于y轴对称，并且对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0．则当n∈N﹡时，有（　　）‎ A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）‎ C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）‎ ‎12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是　　．‎ ‎14．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）=0.3，那么n=　　．‎ ‎15．关于x的方程sin2x+cosx+a=0有实根，则实数a的取值范围是 　　．‎ ‎16．已知数列{an}是单调递增的等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．双曲线与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（，4），求其方程．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．‎ ‎19．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R且a≠0）‎ ‎（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f（x）]在区间（t，3）上总存在极值？‎ ‎（Ⅲ）当a=2时，设函数h（x）=（p﹣2）x﹣﹣3，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．‎ ‎20．扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于80分的有参赛资格，80分以下（不包括80分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）求获得参赛资格的人数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩．‎ ‎21．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．‎ ‎22．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．‎ ‎（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省恩施州建始一中高三（上）9月月考数学试卷 （理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列命题正确的有（　　）‎ ‎①（1﹣）8的展开式中所有项的系数和为0；‎ ‎②命题p：“∃x∈R，x02﹣x0﹣1＞1”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；‎ ‎③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）=p，P（﹣1＜X＜0）=﹣p；‎ ‎④回归直线一定过样本点的中心（，）．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；命题的否定．‎ ‎【分析】对四个命题，进行分析，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①令x=1，可得1﹣）8的展开式中所有项的系数和为0，故①正确；‎ ‎②命题p：“∃x∈R，x02﹣x0﹣1＞1”的否定￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，故正确；‎ ‎③随机变量X服从正态分布N（0，1），曲线关于x=0对称，若P（X＞1）=p，∴P（﹣1＜X＜0）=P（0＜X＜1）=﹣p，故正确；‎ ‎④回归直线一定过样本点的中心（，），正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．若 sinθ＞0，cosθ＜0，，则θ所在的象限是（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】三角函数值的符号．‎ ‎【分析】利用三角函数的定义，可确定y＞0，x＜0，进而可知θ在第二象限．‎ ‎【解答】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=，cosθ=‎ ‎∵r＞0，‎ ‎∴y＞0，x＜0．‎ ‎∴θ在第二象限，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知tan=，且x在第三象限，则cosx=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合x的象限，同角三角函数的基本关系式，求出cosx即可．‎ ‎【解答】解：因为，且x在第三象限，所以并且sin2x+cos2x=1解得cosx=﹣，sinx=﹣；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域，做出面积，看出满足条件的事件对应的面积，根据几何概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：如图，所有的基本事件对应集合Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，‎ 所构成的区域为矩形及其内部，其面积为S=3×2=6，‎ 事件A对应的集合A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，且a＜b}，‎ 且在直线a=b的右上方部分，其面积S'=6﹣×2×2=4，‎ 故事件A发生的概率P（A）==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（　　）‎ A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件；当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件；当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”．‎ ‎【解答】解：当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”，‎ ‎∴当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件，故A错误；‎ 当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，‎ ‎∴当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B正确；‎ 当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”，‎ ‎∴当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件，故C正确；‎ 当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，“m⊥n”⇒“n⊥α”，故D正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（﹣4，﹣2]时，f（x）≤有解，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，0）∪（0，1） B．[﹣2，0）∪[1，+∞） C．[﹣2，﹣]∪[1，] D．[﹣2，﹣]∪[1，+∞]‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由f（x+2）=2f（x）及当x∈（0，2]时，f（x）=可化简得当x∈（﹣4，﹣2]时，f（x）=f（x+2）=f（x+4）=；从而求得﹣≤，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵f（x+2）=2f（x），‎ 又∵当x∈（﹣4，﹣2]时，x+4∈（0，2]；‎ ‎∴f（x）=f（x+2）=f（x+4）‎ ‎=；‎ 由分段函数可求得，‎ f（x）≥﹣；‎ 故﹣≤，‎ 解得，t∈[﹣2，0）∪[1，+∞）；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{2} D．{1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，‎ ‎∴A∩B={2}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（　　）‎ A．2 B．2 C． D．1‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解 ‎【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=‎ 由直线与圆相交的性质可知，‎ 即 ‎∴‎ 故选B ‎　‎ ‎9．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据已知条件便得到，所以可求出，所以得出．‎ ‎【解答】解：∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴||=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）‎ A．A=N*，B=N B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}‎ C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．‎ ‎【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；‎ 对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：‎ ‎（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；‎ 对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；‎ ‎（ii）对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；‎ 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图象关于y轴对称，并且对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0．则当n∈N﹡时，有（　　）‎ A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）‎ C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】可得函数在区间（﹣∞，0]单调递增，[0，+∞）单调递减，故谁离远点近谁的函数值大，由绝对值的意义可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，且在区间（﹣∞，0]单调递增，‎ 故在区间[0，+∞）单调递减，故只需比较自变量的绝对值大小即可，‎ 当n∈N﹡时，有|n+1|＞|﹣n|＞|n﹣1|，‎ 故有f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）‎ 故选A ‎　‎ ‎12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线性质可知双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小时，p在右顶点上，进而求得c﹣a的值，然后利用点到直线的距离表示出焦点到渐近线的距离，求得a和c的关系式，最后两关系式联立求得a和c，则离心率可得．‎ ‎【解答】解：依题意可知双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小时，P在右顶点上，即c﹣a=2①‎ ‎∵焦点到渐近线的距离为，‎ 即=b=2，②‎ ‎①②联立求得a=2，c=4‎ ‎∴e==2‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得f′（x）=﹣，‎ ‎∵，‎ 且k＜0‎ 则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，‎ 又∵k=tanα，结合正切函数的图象 由图可得α∈，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）=0.3，那么n=　10　．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】由题意知随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，得到这n个数字中取任何一个的概率是，根据P（X＜4）=0.3，表示出等式的左边包括P（X=1）+P（X=2）+P（X=3），它等于0.3，解关于n的方程．‎ ‎【解答】解：随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，‎ ‎∵P（X=k）=（k=1，2，n），‎ ‎∴0.3=P（X＜4）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=，‎ ‎∴n=10．‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎15．关于x的方程sin2x+cosx+a=0有实根，则实数a的取值范围是 　[﹣，1]　．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】先将原方程转化为：a=﹣sin2x﹣cosx，再用同角三角函数基本关系式中的平方关系转化为a=cos2x﹣cosx+1，再设cosx=t，t∈[﹣1，1]，‎ 转化为二次函数a=t2﹣t﹣1求解．‎ ‎【解答】解：将原方程转化为：a=﹣sin2x﹣cosx=cos2x﹣cosx﹣1，‎ 设cosx=t，t∈[﹣1，1]，‎ 则a=t2﹣t﹣1=（t﹣）2﹣∈[﹣，1]‎ 故答案为：[﹣，1]；‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}是单调递增的等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率=　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可求得所有的基本事件数目，也可求得符合条件的基本事件数目，由古典概型可得．‎ ‎【解答】解：由题意，从7个数中任取3项共有==35种取法，‎ 可以取走其中的a1，a2，a3，和a1，a2，a7和a1，a6，a7，和a5，a6，a7，和a2，a4，a6，‎ 使剩余的依然构成单调递增的等差数列，‎ 即符合条件的共有5种情况 故所求概率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．双曲线与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（，4），求其方程．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据已知中双曲线与椭圆有相同焦点，我们可以设出双曲线的标准方程（含参数a），然后根据经过点（，4），得到一个关于a的方程，解方程，即可得到a2的值，进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点为（0，±3），c=3，…‎ 设双曲线方程为，…‎ ‎∵过点（，4），则，…‎ 得a2=4或36，而a2＜9，∴a2=4，…‎ 双曲线方程为．…‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由 可得，‎ 可得，‎ 即，‎ 即，‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，‎ 由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，‎ 由余弦定理可知．‎ 解得c=1，c=﹣7（舍去）．‎ 向量在方向上的投影： =ccosB=．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R且a≠0）‎ ‎（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f（x）]在区间（t，3）上总存在极值？‎ ‎（Ⅲ）当a=2时，设函数h（x）=（p﹣2）x﹣﹣3，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）由题意及函数解析式需用导函数来求其单调区间；‎ ‎（II）由导函数的几何意义可以先求出a的值，此时函数f（x）就具体了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函数存在极值的充要条件建立m的不等式即可；‎ ‎（III）由题意构建新函数F（x），这样问题转化为使函数F（x）在[1，e]上至少有一解的判断．‎ ‎【解答】解：（Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx﹣ax﹣3=lnx﹣x﹣3；导函数为；‎ 当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减；‎ 故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）∵g（x）=x2﹣2x，‎ ‎∴g‘（x）=3x2+（4+m）x﹣2，‎ ‎∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴g‘（x）=3x2+（4+m）x﹣2在区间（t，3）上存在零点，‎ ‎∴‎ 解得．‎ 所以当m∈时，对于任意的t∈[1，2]函数在区间（t，3）上总存在极值．‎ ‎（Ⅲ）∴‎ ‎①当p≤0时，由x∈[1，e]得px﹣≤0，﹣﹣2lnx＜0．‎ 所以，在[1，e]上不存在x0，使得h（x0）＞f（x0）成立；‎ ‎②当p＞0时，F'（x）=，∵x∈[1，e]，‎ ‎∴2e﹣2x≥0，px2+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．‎ ‎∴．‎ 故只要，解得．所以p的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎20．扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于80分的有参赛资格，80分以下（不包括80分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）求获得参赛资格的人数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩．‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）成绩大于或等于8的具有参赛资格，则参赛人数=频率×总人数，根据频率分布直方图可知，参赛的频率为：0.010×10+0.005×10=0.15代入上式，得到所求人数；‎ ‎（2）在频率分布直方图中，平均数为每个矩形中点横坐标与矩形面积的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）（0.005+0.010）×10×500=75（人）‎ ‎（Ⅱ）55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆M： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；‎ ‎（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，‎ 又b=，所以a=2，‎ 所以椭圆方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，‎ 此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，‎ 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，‎ 显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|‎ ‎=2|k（x2+x1）+2k|==≤=，（k=±时等号成立）‎ 所以|S1﹣S2|的最大值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．‎ ‎（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；‎ ‎（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．‎ ‎【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a ‎=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，‎ ‎∵x∈[0，]，‎ ‎∴2x+∈[，]，‎ ‎∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+）+3，‎ 由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；‎ ‎（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，‎ 由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，‎ ‎∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，‎ 解得x=+或x=+，（k∈Z），‎ ‎∵x∈[0，]，‎ ‎∴x=或x=，‎ ‎∴所有根之和为+=．‎ ‎　‎ ‎2016年10月27日