【数学】福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷试题（理）（解析版）

【数学】福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷试题（理）（解析版）

福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷 数学试题（理）‎ 一、选择题：‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】或，，‎ 因此，或.‎ 故选：B.‎ ‎2.已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，在等式两边同时除以得，，‎ 因此，复数的虚部为.‎ 故选：D.‎ ‎3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：‎ 年级 高一 高二 高三 学生人数 ‎1500‎ ‎2000‎ ‎2500‎ 利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( )‎ A. 35 B. 45 C. 60 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由高一年级抽调人，可知，即每人中选个人，则该校观看演出的人数为（人），‎ 故选：C．‎ ‎4.已知是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，可以断定的条件是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，无法得到，A错误；‎ 由可得，B错误；‎ 由，可得，，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C正确；‎ 由不一定得到，，还可能是相交，D错误．‎ 故选：C．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，‎ 所以.‎ 故选：B. ‎ ‎6.已知数列为等比数列，且，数列为等差数列，为等差数列的前n项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，‎ 解得，‎ ‎，则 故选：B. ‎ ‎7.若实数，满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：‎ 则为直线在轴上的截距，平移直线，‎ 当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，‎ 此时取得最大值，即.‎ 故选：C.‎ ‎8.已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为奇函数，图象关于原点对称，故排除；‎ ‎，，故排除；‎ 故选：D. ‎ ‎9.已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】①，‎ 当时，解得，‎ 当时，②，‎ ‎①减②得，‎ 则是以为首项，为公比的等比数列，‎ 故选：B. ‎ ‎10.已知F为抛物线的焦点，斜率大于0的直线l过点和点F，且交抛物线于A，B两点，满足，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，设直线的斜率为，则直线的方程为 ‎，设，，‎ 联立方程得消去整理得，，‎ 则，，‎ ‎，则，，‎ 解得或（舍去），所以直线方程 因为直线过点，代入可得，则抛物线的方程为 故选：A. ‎ ‎11.已知函数，当时，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知 ‎，‎ 则.‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以由可知，‎ 则，‎ 则 ‎，‎ 故选：C.‎ ‎12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知 ‎，‎ 则.‎ 又正三棱锥的体积 ‎，‎ 则，‎ 令，‎ 则或（舍去），‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，V取得最大值，‎ 故选：D.‎ 二、填空题：‎ ‎13.函数在点处的切线方程为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，‎ 由于函数在点处的切线方程为，‎ 则，解得，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知二项式的展开式中的二项式系数和为，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由二项式的展开式中的二项式系数和为64‎ 可知解得，‎ 则，‎ 令，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可知点G为的重心.‎ 以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，.‎ 设，由可知P为圆上的动点，‎ 所以的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且，则双曲线的离心率________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题可知，双曲线的渐近线的方程为，可取，‎ 以OF为直径的圆的方程为，‎ 联立，解得或（舍去）‎ 可得.‎ 由，‎ 可得，‎ 即 ‎，‎ 解得或（舍去），‎ 故双曲线的离心率.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：‎ ‎17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：‎ 模拟考试第x次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考试成绩y分 ‎90‎ ‎100‎ ‎105‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；‎ ‎（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望.‎ 参考公式：.‎ 解：（1）由表可知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 故回归直线方程为.‎ 当时，，‎ 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.‎ ‎（2）由题可知随机变量的所有可能取值为1，2，3，‎ 则；‎ ‎；‎ ‎，‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量的数学期望.‎ ‎18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若D为AC的中点，且，求的周长.‎ 解：（1）由可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得.‎ ‎.‎ 则由余弦定理可得.‎ ‎（2）设，则.‎ 在和中，利用余弦定理可得，‎ ‎，‎ 结合（1）可得，，‎ 两式相加可得，‎ 即，‎ 故的周长.‎ ‎19.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，且.‎ ‎（1）求证：平面PBD；‎ ‎（2）若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角D-PC-B的余弦值.‎ ‎（1）证明：取CD的中点E，连接AE，BE，BD.‎ ‎.‎ 又，‎ 四边形ABED为正方形，则.‎ 平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎.‎ 平面PBD，平面PBD.‎ 平面PBD.‎ ‎，‎ 四边形ABCE为平行四边形，‎ 平面PBD.‎ ‎（2）解：平面ABCD，‎ 为PB与平面ABCD所成的角，‎ 即，则.‎ 设，则.‎ 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，.‎ 平面PDC，‎ 平面PDC的一个法向量.‎ 设平面PBC的法向量，‎ ‎，‎ 则，‎ 取，则.‎ 设二面角D-PC-B的平面角为，‎ ‎.‎ 由图可知二面角D-PC-B为锐角，‎ 故二面角D-PC-B的余弦值为.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆的左、右顶点分为A，B，过右焦点的直线l交椭圆于P，Q两点，求四边形APBQ 面积的最大值.‎ 解：（1）设椭圆的焦距为，故由题可知，则椭圆的左焦点，‎ 故直线方程为，‎ 以右顶点为圆心，b为半径的圆的方程为，‎ 则，，‎ 解得或（舍去），故，‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为，，‎ 联立，整理得，显然，‎ 则，‎ ‎，‎ 故四边形APBQ的面积.‎ 设，则，‎ 可设函数，则，‎ 函数在上单调递增，‎ 则，则，‎ 当且仅当时等号成立，四边形APBQ的面积取得最大值为6.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的导函数在上有三个零点，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）‎ ‎.‎ 当时，，‎ 令，得，则，‎ 故当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由，可知为一个零点，‎ 则方程在上有2个不同的实数根，‎ 即在上有2个不同的实数根，‎ 问题等价于函数与直线有2个交点，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎.‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 故实数a的取值范围为.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线交于、两点，且点，求的值.‎ 解：（1）曲线的极坐标方程为，即， ‎ 将代入上式，可得，‎ 所以曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数），代入曲线的方程中，得，显然，‎ 设、对应的参数分别为、，则，，‎ 因为点在直线上，‎ 所以.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.‎ 解：（1）因为，‎ 当时，由可得出，解得，此时；‎ 当时，由可得出，解得，此时；‎ 当时，由可得出，解得，此时.‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，‎ 所以.‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.‎ ‎ ‎