2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题 ，则.故选B ‎2．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造函数，将代入看所对应的值正负，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，‎ ‎,又，‎ ‎,‎ 故，故方程在区间上有解.‎ 故选: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是二分法求方程的近似解，当连续函数满足时，在区间上有零点，是基础题.‎ ‎3．函数的图象是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.‎ ‎【考点】函数的图象与性质．‎ ‎4．函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令得，利用配方即可求出函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 令，则（）‎ 所以 ‎ 由 ‎ 又 所以 即的值域为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了换元法求函数的值域，解决此类问题时，在换元的过程中注意自变量取值范围的变化.‎ ‎5．已知中，为的中点，为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将化为,再将化为,再将化为即可解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 考查平面向量的几何概念和基本运算，知识点较为基础，题目较为简单.‎ ‎6．已知，那么的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，即可得到的定义域.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，又，‎ ‎∴的定义域为，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的定义域问题，考查正弦函数的性质，是一道基础题．‎ ‎7．已知函数（且）在上单调递减,则实数 的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简函数（且），得（且）；‎ 令，分类讨论当时，根据复合函数的单调性，函数在上单调递减，显然成立；‎ 当时，只需成立即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数（且），‎ 即（且）‎ 令，则，开口向下，对称轴为 ‎ 当时，由因为，则，且 ‎ 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，‎ 所以满足；‎ 当时，由因为，则 ‎ 若要使函数上单调递减，则 ‎ 解得 ‎ 综上所述，实数的取值范围为. ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有指数函数的复合函数的单调性，解题注意分类讨论思想的运用，同时复合函数的单调性法则为“同增异减”， 此题属于中档题.‎ ‎8．设函数，若互不相等的实数满足 ‎，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 画出函数的图象如图所示．‎ 不妨令，则，则．‎ 结合图象可得，故．‎ ‎∴．选B．‎ ‎【点睛】‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、多选题 ‎9．已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】BC ‎【解析】若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵集合A＝{x|x∈R|（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0}中有且仅有一个元素，‎ ‎∴方程（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0有且只有一个实数根；‎ ‎∴①当a2﹣1＝0，a+1≠0时，a＝1；‎ ‎②当a2﹣1≠0，‎ ‎（a+1）2﹣4×（a2﹣1）＝0‎ 解得，a＝﹣1（舍去）或a；‎ ‎∴a＝1或．‎ 故选BC ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程根的分布，考查分类讨论思想，属于常考题型.‎ ‎10．对于函数，选取的一组值去计算和，所得出的正确结果可能是（ ）‎ A．和 B．和 C．和 D．和 ‎【答案】ABD ‎【解析】根据，由，得到的值应为偶数，从而对四个选项进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数 所以，‎ 所以得到，‎ 因为，所以为偶数，‎ 故四个选项中符合要求的为ABD.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的性质，根据函数的解析式求函数的值，属于简单题.‎ ‎11．关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间（,）单调递增 C．f(x)在有4个零点 D．f(x)的最大值为2‎ ‎【答案】AD ‎【解析】根据绝对值的意义，结合三角函数的图象和性质逐一进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，‎ 故A正确；‎ 当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，‎ 则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故B错误；‎ 当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，‎ 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，‎ 由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故C错误；‎ 当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故D正确，‎ 故选AD ‎【点睛】‎ 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的意义以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎12．已知函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．函数是奇函数 B．关于x的不等式的解集为 C．函数在R上是增函数 D．函数的图象的对称中心是 ‎【答案】BCD ‎【解析】逐一分析选项，A.求的值，判断选项；‎ B.根据A的判断结果，变形不等式，并判断函数的单调性，利用单调性解不等式；‎ C.由函数形式和性质直接判断单调性；‎ D.根据的值，判断选项.‎ ‎【详解】‎ A．函数的定义域为， ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 函数不是奇函数，故A不正确；‎ B.由A可知， ‎ 设，‎ ‎ ‎ 函数的定义域为并且是奇函数，‎ ‎，在是增函数+增函数-减函数=增函数，‎ 并且，‎ 在上是单调递增函数 变形为 ‎ 即 ‎ 在上是单调递增函数 ‎，解得： ‎ 故不等式的解集是，故B正确；‎ C.由B可知是上单调递增函数，‎ 也是上单调递增函数，故C正确；‎ D.，‎ 关于对称，故D正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数解析式判断函数的性质和应用，属于中档题型，本题的关键是判断，所有选项的判断都以这个式子作为判断的基础.‎ 三、填空题 ‎13．计算：=_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14．若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出图形，如图所示.‎ 设扇形的半径为rcm，由sin60°=，得r=4cm，‎ ‎∴l==×4= cm.‎ ‎15．函数，若关于的不等式的解集为，则当时满足的的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据关于的不等式的解集为，‎ 求出，得出；‎ 由当时，满足，即 ，‎ 讨论的正负，代入解析式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由关于的不等式的解集为，‎ 当时，，解得 ‎ 当时，，由不等式的解集可得，即 ‎ 故不等式为 ‎ 由当时，满足 ‎ 即 ‎ 当，即时，‎ 则，解得 ‎ 当，即时，‎ 则，解得 ‎ 所以 ‎ 综上所述，不等式中的取值范围为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数解不等式，解题的关键是先求出解析式，对于分段函数解不等式，需分类讨论代入对应解析式，此题属于中档题.‎ ‎16．如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：‎ ‎①函数存在“线性覆盖函数”；‎ ‎②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；‎ ‎③为函数的一个“线性覆盖函数”；‎ ‎④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 其中所有正确结论的序号是___________‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对①：由函数的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题①错误 对②：如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，∴命题②正确；‎ 对③：设 则 当 时，在（0，1）单调递增 当 时，在单调递减 ‎ ，即 为函数的一个“线性覆盖函数”；命题③正确 对④，设 ，则，当b=1时，也为函数的一个“线性覆盖函数”，故命题④错误 故答案为②③‎ 四、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）化简函数的解析式；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式及商数关系化简表达式即可；‎ ‎（2）由（1）可知：，巧用“1”转化为齐次式，弦化切，代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）. ‎ ‎（2）由题意，那么 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简与求值，考查三角恒等变换知识，考查计算能力，属于简单题目.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，，.‎ ‎（1）若，且，求向量的坐标.‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据向量共线定理和模长计算公式，即可得出。‎ ‎（2）将代入，结合二次函数求出最值。‎ ‎【详解】‎ ‎。‎ 解：（1）∵，又，‎ ‎∴‎ ‎∴ ①‎ 又∵ ‎ ‎∴ ②‎ 由①②得，‎ ‎∴，∴‎ 当时，（舍去）‎ 当时，‎ ‎∴，∴ ‎ ‎（2）由（1）可知 ‎∴当时，‎ ‎【点睛】‎ 对于型求最值问题，可令，转化为二次函数来求最值。‎ ‎19．已知函数（，，）的图象如下图所示 ‎（1）求出函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2），.‎ ‎【解析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）利用平移变换的运算求出函数y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 由图可得 且而,‎ 故 综上 ‎（2）显然 由得 的单调递增区间为.. ‎ 由.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．‎ ‎20．（本题满分12分）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下.‎ ‎（Ⅰ）请推理荆门地区该时段的温度函数 的表达式；‎ ‎（Ⅱ）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？‎ ‎【答案】(1) ； (2)应该开空调.‎ ‎【解析】试题分析：(1)（3分） ‎ ‎（5分）（6分）； ‎ ‎(2)（8分）‎ ‎，（11分） 所以应该开空调. (12分)‎ ‎【考点】本题考查了三角函数的实际运用 点评：在实际应用问题中，常常引入辅助角参数沟通变量之间的联系，这时，常可利用辅助角的正、余弦的有界性求出最小值。构造辅助角模型，利用正、余弦函数的有界性求出的最值，一定要验证取最值时的角是否存在且在给定的区间内，以防上当受骗．‎ ‎21．已知函数，其中.‎ ‎（1）写出的单调区间；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若存在实数，使得函数的定义域是，值域是，求实数m的范围.‎ ‎【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）不存在，理由见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据函数零点去绝对值，写成分段函数，直接判断函数的单调区间；‎ ‎（2）根据解析式，分 ，或者三种情况，根据单调性讨论函数的值域，列式求，并说明理由；‎ ‎（3）根据（2）可知，只有满足条件，转化为方程有两个大于1的实根，列式求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数在单调递减，在单调递增 ‎（2）分 ，或者三种情况讨论，‎ 当时，函数单调递减， ，解得：这与矛盾；‎ 当时，函数的最小值是0，这与函数的最小值是矛盾；‎ 当时，；另一方面，由定义域和值域都是得 是方程的两个大于1的实根，又因为方程没有两个大于1的实根，所以不存在符合条件的 综上：没有符合条件的.‎ ‎（3）因为函数值域为，‎ 由（2）可知，和都不成立，所以 ‎∴方程有两个大于1的实根，方程化为，所以有.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数，以及根据函数定义域和值域的关系求参数的取值范围，意在考查讨论的思想，转化与化归，计算能力，属于中档题型.‎ ‎22．已知函数，，函数．‎ 若的最大值为0，记，求的值；‎ 当时，记不等式的解集为M，求函数，的值域是自然对数的底数；‎ 当时，讨论函数的零点个数．‎ ‎【答案】（1）0；（2）；（3）见解析 ‎【解析】函数的最大值为0，解得，从而，由此能求出;当时，的解集，函数，当时，令，则，，由此能求出y的值域;由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数．‎ ‎【详解】‎ 函数的最大值为0，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当时，的解集，‎ 函数，‎ 当时，令，则，，‎ 的值域为．‎ ‎．‎ ‎，为的一个零点，‎ ‎，，，‎ ‎，即1为的零点．‎ 当时，，，‎ 在上无零点．‎ 当时，，在上无零点，‎ 在上的零点个数是在上的零点个数，‎ ‎，，．‎ 当，即时，函数无零点，即在上无零点．‎ 当，即时，函数的零点为，‎ 即在上有零点．‎ 当，即时，，‎ 函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点．‎ 综上所述，当时，有1个零点，‎ 当时，有2个零点．‎ 当时，有3个零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．‎