湖南省怀化市2019-2020学年高三上学期模拟考试数学（理）试卷

湖南省怀化市2019-2020学年高三上学期模拟考试数学（理）试卷

数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）‎ ‎2．（5分）若复数z满足，则|z|＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝﹣33，a1＝2，则a5＝（　　）‎ A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12‎ ‎4．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（　　）‎ A． B．y＝2x﹣2﹣x C．y＝sinx D．y＝x2‎ ‎5．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（　　）‎ A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）‎ ‎6．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（　　）‎ A．＝﹣2+3 B．＝+ ‎ C．＝+ D．＝+‎ ‎7．（5分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理．太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知双曲线C的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C上，则C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，则三棱锥E﹣D1C1C外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．32π C．9π D．8π ‎11．（5分）已知x＝1是f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex的极小值点，则实数a 取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，1）‎ ‎12．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA的斜率kPA与直线PB的斜率kPB乘积，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和是　 　．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4则a12+a22+a32+…+a82＝　 　．‎ ‎15．（5分）的展开式中x4的系数为　 　．‎ ‎16．（5分）在平面凸四边形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，形成三棱锥A'﹣BCD，若翻折过程中，存在某个位置，使得BC⊥A'D，则x取值范围是　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，AC＝8，BC＝7，．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是等边三角形，SB⊥AC．‎ ‎（1）证明：AB＝AS；‎ ‎（2）若AB⊥AS，CA＝CS，求二面角A﹣SD﹣C的余弦值．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点M（，），，直线l：y＝kx+与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求△OAB面积的最大值．‎ ‎20．（12分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．‎ 方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；‎ 方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：‎ 获得代金券金额（万元）‎ ‎0‎ ‎“顾客胜利”次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；‎ ‎（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？‎ ‎21．（12分）已知函数在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）＝﹣lnx的图象在x＝x1，x2（x1≠x2）的切线斜率相同，证明：‎ ‎（ i）x1•x2＞256；‎ ‎（ ii）g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，将直线l1绕极点O逆时针旋转个单位得到直线l2．‎ ‎（1）求C和l2的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线l1和曲线C交于O，A两点，直线l2和曲线C交于O，B两点，求|OA|+|OB ‎|的最大值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|（a∈R）．‎ ‎（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥2，求实数a的取值范围．‎ 数学模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【专题】11：计算题；5J：集合．‎ ‎【分析】解二次不等式可求得A＝（0，2），又B＝（﹣1，1）则可得解．‎ ‎【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），‎ 又B＝（﹣1，1），‎ 所以A∩B＝（0，1），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题．‎ ‎2．（5分）若复数z满足，则|z|＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接利用商的模等于模的商求解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴|z|＝||＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．‎ ‎3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝﹣33，a1＝2，则a5＝（　　）‎ A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】先根据求和公式即可求出公差，再求和即可．‎ ‎【解答】解：∵S6＝﹣33，a1＝2，S6＝6a1+×d，‎ ‎∴﹣33＝12+15d，‎ ‎∴d＝﹣3，‎ ‎∴a5＝a1+4d＝2﹣4×3＝﹣10，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题．‎ ‎4．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（　　）‎ A． B．y＝2x﹣2﹣x C．y＝sinx D．y＝x2‎ ‎【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，y＝﹣，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；‎ 对于B，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），为奇函数，且其导数f′（x）＝2x﹣2﹣x＞0，在其定义域上为增函数，符合题意；‎ 对于C，y＝sinx，为正弦函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；‎ 对于D，y＝x2，为偶函数，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎5．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（　　）‎ A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．‎ ‎【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：‎ 目标函数z＝x+2y经过C点时，函数取得最小值，‎ 由解得C（2，1），‎ 目标函数的最小值为：4‎ 目标函数的范围是[4，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．‎ ‎6．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（　　）‎ A．＝﹣2+3 B．＝+ ‎ C．＝+ D．＝+‎ ‎【考点】9E：向量数乘和线性运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出．‎ ‎【解答】解：由＝3，‎ 则＝+＝+＝+（﹣）＝+，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题．‎ ‎7．（5分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理．太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】由三角函数的周期可得：函数的周期为＝6，即大圆的半径为3，‎ 由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，得解．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可得函数的周期为＝6，‎ 即大圆的半径为3，‎ 设“此点投放到“鱼眼”部分”为事件A，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ P（A）＝＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的周期及几何概型中的面积型，属中档题．‎ ‎8．（5分）已知双曲线C的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C上，则C的方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由题意y＝x是C的一条渐近线，故可设双曲线的标准方程为（y+x）（y﹣x）＝λ．把点P的坐标代入即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：求的双曲线的方程是标准方程．‎ ‎∵y＝x是C的一条渐近线，‎ ‎∴可设双曲线的方程为（y+x）（y﹣x）＝λ，即y2﹣2x2＝λ 把点P（2，﹣2）代入得（﹣2）2﹣2×（2）2＝λ，解得λ＝﹣14．‎ ‎∴双曲线的方程为y2﹣2x2＝﹣14．化为﹣＝1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的性质和方程，属于基础题．‎ ‎9．（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．‎ ‎【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：函数的图象向左平移个单位，‎ 得到：，‎ 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，‎ 所得：‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，则三棱锥E﹣D1C1C外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．32π C．9π D．8π ‎【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】31：数形结合；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意画出图形，由已知求得D1E⊥CE，可得D1C中点O为三棱锥E﹣D1C1C外接球的球心，求出半径，代入球的表面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，‎ ‎∴CE＝，，，‎ 则，‎ ‎∴D1E⊥CE，又D1C1⊥C1C，‎ 取D1C中点O，则O为三棱锥E﹣D1C1C外接球的球心，‎ ‎∴外接球的半径为．‎ ‎∴三棱锥E﹣D1C1C外接球的表面积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎11．（5分）已知x＝1是f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex的极小值点，则实数a 取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，1）‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】32：分类讨论；4O：定义法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据题意求函数f（x）的导数f′（x），根据x＝1是f（x）的极小值点，‎ 得出x＜1时f′（x）＜0，且x＞1时f′（x）＞0，由此可得出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]ex，‎ 则f′（x）＝[x2﹣（a+1）x+a]ex，‎ 令f′（x）＝0，得x2﹣（a+1）x+a＝0，‎ 设g（x）＝x2﹣（a+1）x+a，x∈R，‎ ‎①当a＝1时，g（x）＝（x﹣1）2≥0恒成立，‎ ‎∴f′（x）≥0恒成立，f（x）是R上的单调增函数，没有极值点，不合题意；‎ ‎②当a＞1时，g（x）有两个零点1和a，且x＜1或x＞a时g（x）＞0，则f′（x）＞0，‎ ‎1＜x＜a时g（x）＜0，则f（x）＜0，‎ 所以x＝1是f（x）的极大值点，不满足题意；‎ ‎③当a＜1时，g（x）有两个零点1和a，且x＜a或x＞1时g（x）＞0，则f′（x）＞0，‎ a＜x＜1时g（x）＜0，则f（x）＜0，‎ 所以x＝1是f（x）的极小值点，满足题意；‎ 综上所述，x＝1是f（x）的极小值点时，实数a 取值范围是（﹣∞，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．‎ ‎12．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA的斜率kPA与直线PB的斜率kPB乘积，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设P点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得＝，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0）代入椭圆方程，则，‎ 整理得：y02＝（x02﹣a2），‎ 又k1＝，k2＝，‎ 所以k1k2＝＝﹣，‎ 联立两个方程则k1k2＝﹣＝﹣，‎ 即＝，‎ 则e＝＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和是　21　．‎ ‎【考点】B7：分布和频率分布表．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y ‎．根据样本容量为50和数据在[20，60）上的频率为0.6，建立关于x、y的方程，解之即可得到x+y的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y ‎∵样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，样本容量为50‎ ‎∴，解之得x+y＝21‎ 即样本在「40，50），[50，60）内的数据个数之和为21‎ 故答案为：21‎ ‎【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据．着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4则a12+a22+a32+…+a82＝　1020　．‎ ‎【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．‎ ‎【解答】解：数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，‎ ‎∴q2＝＝2，‎ ‎∴an2＝（a1qn﹣1）2＝4×（q2）n﹣1＝4×2n﹣1＝2n+1，‎ ‎∴a12+a22+a32+…+a82＝＝1020，‎ 故答案为：1020．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于基础题 ‎15．（5分）的展开式中x4的系数为　120　．‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．‎ ‎【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中x4的系数．‎ ‎【解答】解：∵＝（1+x3）•（x10+10x7+40x4+80x+80x﹣2 32x﹣5），‎ 故它的展开式中x4的系数为40+80＝120，‎ 故答案为：120．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎16．（5分）在平面凸四边形ABCD中，，将△ABD沿BD折起，形成三棱锥A'﹣BCD，若翻折过程中，存在某个位置，使得BC⊥A'D，则x取值范围是　（，+∞）　．‎ ‎【考点】L3：棱锥的结构特征．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】求得BD＝3，取BD的中点E，连接A'E，CE，由等腰三角形的三线合一，以及线面垂直的判断和性质，以及已知垂直条件可得A'在底面BCD的射影为垂心H，求得A'E，EH，由A'E＞EH，解不等式可得所求范围．‎ ‎【解答】解：由平面凸四边形ABCD中，，‎ 可得BD＝3，‎ 取BD的中点E，连接A'E，CE，‎ 由A'B＝A'D，CB＝CD，可得BD⊥A'E，BD⊥CE，‎ 则BD⊥平面A'CE，可得BD⊥A'C，‎ 由存在某个位置，使得BC⊥A'D，‎ 由线面垂直的判断和性质可得A'在底面BCD的射影为三角形BCD的垂心，‎ 设H为垂心，可得AE＞EH，即＞•3，‎ 解得x＞，满足x+x＞3，‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判断和性质的运用，考查转化思想和空间想象能力、推理能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，AC＝8，BC＝7，．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数关系式可求sinB的值，根据正弦定理可得，利用大边对大角可求A的范围，即可得解A的值．‎ ‎（2）由（1）利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）在△ABC中，cosB＜0，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得，，即，‎ 得．…………（4分）‎ 又因为A＜B，‎ 所以，‎ 所以．…………（6分）‎ ‎（2）由（1）可得：sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝，…………（9分）‎ 可得：．…………（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC 是等边三角形，SB⊥AC．‎ ‎（1）证明：AB＝AS；‎ ‎（2）若AB⊥AS，CA＝CS，求二面角A﹣SD﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．‎ ‎【分析】（1）取BS的中点O，连接CO，AO，推导出BS⊥CO，BS⊥AC，从而BS⊥面AOC．再求出BS⊥AO．由此能证明AB＝AS．‎ ‎（2）设BS＝2，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SD﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（1）取BS的中点O，连接CO，AO，‎ 因为△SBC是等边三角形，所以BS⊥CO，‎ 又BS⊥AC，AC∩CO＝C，所以BS⊥面AOC．‎ 又AO⊂面AOC，所以BS⊥AO．…………（3分）‎ 又O是BS的中点，所以AB＝AS． …………（4分）‎ ‎（2）设BS＝2，依题意可得AO＝OS＝1，，CA＝CS＝2．‎ 因为AO2+OC2＝AC2，所以AO⊥OC．‎ 又由（1）知，OS⊥OA，OS⊥OC，‎ 如图以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，…………（6分）‎ 则A（0，0，1），S（1，0，0），，B（﹣1，0，0），‎ ‎，，‎ 设面ASD的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 得方程的一组解为，即…………（8分）‎ ‎，，‎ 设面SDC的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 得方程的一组解为，即…………（10分）‎ ‎…………（11分）‎ 所以二面角A﹣SD﹣C的余弦值为．…………（12分）‎ ‎【点评】本题考查两线段相等的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点M（，），，直线l：y＝kx+与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求△OAB面积的最大值．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）依题意可得解得，即可求出椭圆方程，‎ ‎（2）联立方程组，得（1+4k2）x2+12kx+5＝0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△OAB面积取最大值．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可得解得，‎ 椭圆C的标准方程为，‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由得（1+4k2）x2+12kx+5＝0，‎ ‎△＝（12k）2﹣4×5×（1+4k2）＝64k2﹣20‎ 由△＞0得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴O到AB的距离 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即t2＝9时，得，‎ ‎△OAB面积取得最大值1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20．（12分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．‎ 方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；‎ 方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：‎ 获得代金券金额（万元）‎ ‎0‎ ‎“顾客胜利”次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；‎ ‎（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，利用古典概型能求出顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率．‎ ‎（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y，则，，‎ ‎；方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，求出，从而统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，‎ 则．‎ 所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为．…………（3分）‎ ‎（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y，‎ 则，，‎ ‎∴．…………（6分）‎ 方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，…………（8分）‎ ‎（以上概率的值无需化简）‎ ‎…………（10分）‎ ‎∵‎ ‎∴统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二．…………（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的应用，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）＝﹣lnx的图象在x＝x1，x2（x1≠x2）的切线斜率相同，证明：‎ ‎（ i）x1•x2＞256；‎ ‎（ ii）g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；‎ ‎（2）（i）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（ii）求出g（x1）+g（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1），…………（1分）‎ 因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f'（x）≤0，得 令，则h（x）max≤0…………（2分）‎ ‎，当0＜x＜16时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；‎ 当x＞16时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 所以当x＝16时，h（x）取得最大值h（16）＝ln16+a﹣3，‎ 由ln16+a﹣3≤0得a≤3﹣4ln2…………（4分）‎ ‎（2），依题意有，‎ 化简整理得，‎ 因为x1≠x2，所以①…………（6分）‎ 因为，‎ 当且仅当x1＝x2时，等号成立成立，‎ 即，即x1x2≥256，‎ 又因为x1≠x2，所以x1x2＞256 …………（8分）‎ ‎（ii），‎ 结合①式得，‎ 令x1x2＝t，则t＞256，‎ 由（1）可知在（16，+∞）上单调递减，‎ 所以在（16，+∞）上单调递增，…………（10分）‎ 所以当t＞256时，‎ 即g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2． …………（12分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，将直线l1绕极点O逆时针旋转个单位得到直线l2．‎ ‎（1）求C和l2的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线l1和曲线C交于O，A两点，直线l2和曲线C交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）将C的参数方程化为普通方程得，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，‎ 并化简得C的极坐标方程为．‎ l2的极坐标方程为 ‎（2）依题意可得，‎ 即，‎ 即．‎ 因为，‎ 所以，‎ 当时，‎ ‎|OA|+|OB|取得最大值．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|（a∈R）．‎ ‎（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥2，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）根据绝对值不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）不等式f（x）＞2，即|x﹣2|+|2x﹣2|＞2．‎ 可得，或或…………（3分）‎ 解得，‎ 所以不等式的解集为．…………（5分）‎ ‎（2）f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|＝|x﹣a|+|x﹣1|+|x﹣1|‎ ‎≥|x﹣a﹣（x﹣1）|+|x﹣1|＝|a﹣1|+|x﹣1|≥|a﹣1|‎ 当且仅当x＝1时，两处等号同时成立，…………（8分）‎ 所以|a﹣1|≥2，解得a≤﹣1或a≥3‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）…………（10分）‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布