数学卷·2018届吉林、黑龙江省两省八校联合体高二下学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届吉林、黑龙江省两省八校联合体高二下学期期中数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．关于复数，给出下列判断：‎ ‎①3＞3i；‎ ‎②16＞（4i）2；‎ ‎③2+i＞1+i；‎ ‎④|2+3i|＞|2+i|．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　）‎ A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43‎ B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8‎ D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎3．函数f（x）=（2x﹣1）ex的递增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，+∞） B． C． D．‎ ‎4．已知（n∈N*），则当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知复数z满足（z﹣5）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（　　）‎ A．5+i B．5﹣i C．﹣5+i D．﹣5﹣i ‎6．如图所示，阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎7．若函数f（x）=x3+x2+（a+6）x+a有极大值和极小值，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．观察数组：（﹣1，1，﹣1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40），…，（an，bn，cn），则cn的值不可能为（　　）‎ A．112 B．278 C．704 D．1664‎ ‎9．P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（　　）‎ A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2‎ C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值 D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值2‎ ‎10．已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（　　）‎ A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4‎ C．a的最大值为2 D．a的最大值为4‎ ‎11．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（　　）‎ A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13复数在复平面内对应的点位于第　 　象限．‎ ‎14．若（x＞0），则　 　．‎ ‎15．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：‎ 结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；‎ 结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；‎ 结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；‎ 照此规律，得到结论10：　 　．‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎18．（12分）已知复数z满足，|z|=5．‎ ‎（1）求复数z的虚部；‎ ‎（2）求复数的实部．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）（1）当x＞1时，求证： ；‎ ‎（2）若a＜e，用反证法证明：函数f（x）=xex﹣ax2（x＞0）无零点．‎ ‎21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥‎ OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．‎ ‎（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；‎ ‎（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？‎ ‎22．（12分）已知f（x）=ln（1+x）﹣，x∈R．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；‎ ‎（2）若函数f（x）的最小值为﹣a，求a的值；‎ ‎（3）当x＞﹣1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．关于复数，给出下列判断：‎ ‎①3＞3i；‎ ‎②16＞（4i）2；‎ ‎③2+i＞1+i；‎ ‎④|2+3i|＞|2+i|．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】A2：复数的基本概念．‎ ‎【分析】①③两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小；‎ ‎②利用复数的运算法则即可判断出结论；‎ ‎④利用复数的模的计算公式即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；‎ ‎②∵（4i）2=﹣16，因此正确；‎ ‎③道理同①，不正确；‎ ‎④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．‎ 其中正确的个数为2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、两个复数如果不完全是实数不能比较大小，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　）‎ A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43‎ B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数 C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8‎ D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎【考点】F7：进行简单的演绎推理．‎ ‎【分析】分别判断各选项，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=（2x﹣1）ex的递增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，+∞） B． C． D．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=（2x+1）ex，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，‎ 故f（x）在（﹣，+∞）递增，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知（n∈N*），则当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）=+++…++‎ ‎+﹣（+++…++），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵ （n∈N*），‎ ‎∴当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）‎ ‎=+++…+++﹣（+++…++）‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数式求值，考查待定系数法的应用，考查学生分析解决问题的能力，考查函数的性质及应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知复数z满足（z﹣5）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（　　）‎ A．5+i B．5﹣i C．﹣5+i D．﹣5﹣i ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：由（z﹣5）（1﹣i）=1+i，得 z﹣5=，‎ ‎∴z=5+i，则，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示，阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】6G：定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】利用定积分表示面积，再计算，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得S=﹣（x2﹣x）dx+（x2﹣x）dx=﹣（x3﹣x2）|+（x3﹣x2）|=﹣（﹣）+（﹣2）﹣（﹣）=++﹣2=1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．若函数f（x）=x3+x2+（a+6）x+a有极大值和极小值，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）=0有2个不相等的实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2x+a+6，‎ 若f（x）有极大值和极小值，‎ 则f′（x）=0有2个不相等的实数根，‎ 故△=4﹣12（a+6）＞0，解得：a＜﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎8．观察数组：（﹣1，1，﹣1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40），…，（an，bn，cn），则cn的值不可能为（　　）‎ A．112 B．278 C．704 D．1664‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】由题意an=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3，bn=2n﹣1，从而得到cn=anbn=（2n﹣3）•2n﹣1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意an=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3，bn=2n﹣1，‎ cn=anbn=（2n﹣3）•2n﹣1，‎ 在A中，当n=5时，c5=（2×5﹣3）×24=112，成立；‎ 在B中，当n=6时，c6=（2×6﹣3）•25=288＞277，故B不成立；‎ 在C中，当n=7时c7=（2×7﹣3）•26=704，成立；‎ 在D中，当n=8时， =1664，成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查数列中的元素的判断，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查数列的性质及应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（　　）‎ A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2‎ C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值 D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值2‎ ‎【考点】F3：类比推理．‎ ‎【分析】验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），则，即，‎ ‎∵、，‎ ‎∴，为定值．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查类比思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎10．已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（　　）‎ A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4‎ C．a的最大值为2 D．a的最大值为4‎ ‎【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，化为：a2+2a+2≤+x=f（x）的最小值．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解： 对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，‎ 化为：a2+2a+2≤+x=f（x）的最小值．‎ f′（x）=+1=，可得x=3时，函数f（x）取得极小值即最小值．‎ f（3）=5．‎ ‎∴a2+2a+2≤5，化为：a2+2a﹣3≤0，即（a+3）（a﹣1）≤0，解得﹣3≤a≤1．‎ 因此a的最小值为﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】求出复数的模，把|z|＞|z+i|转化为a（1＜x＜2）恒成立，求出x+的范围得答案．‎ ‎【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，‎ ‎∴＞对任意实数x∈（1，2）恒成立．‎ 即2（x﹣a）+1＜0对任意实数x∈（1，2）恒成立．‎ ‎∴a＞x+（1＜x＜2）．‎ ‎∵x+∈（），‎ ‎∴a≥．‎ ‎∴实数a的取值范围为[）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数模的求法，考查恒成立问题的求解方法，运用了分离变量法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（　　）‎ A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵ ，∴f′（x）＜，‎ 令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ ‎∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，‎ ‎∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造g（x）是解题关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题13复数在复平面内对应的点位于第　四　象限．‎ ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解： ===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．‎ 故答案为：四．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若（x＞0），则　1　．‎ ‎【考点】67：定积分．‎ ‎【分析】由题意可知x3=x2，（x＞0），即可求得x的值，根据分段函数定积分的性质，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知（x＞0），则a2da=a3=x3=x2，‎ 则x3=x2，（x＞0），解得：x=3，‎ 丨a﹣2丨da=（2﹣a）da+（a﹣2）da，‎ ‎=（2a﹣a2）+（a2﹣2a），‎ ‎=（4﹣2）﹣（2﹣）+（﹣6）﹣（2﹣4），‎ ‎=1，‎ ‎∴1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查定积分的运算，分段函数的定积分的性质，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=，得到下列结论：‎ 结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；‎ 结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；‎ 结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；‎ 照此规律，得到结论10：　当29＜x＜210时，f（x）=9　．‎ ‎【考点】F1：归纳推理．‎ ‎【分析】根据前3个结论，找到规律，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；‎ 结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；‎ 结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，‎ 通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，‎ 故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．‎ ‎【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键，属于基础题 ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，‎ 则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，‎ 故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，‎ 而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，‎ 故或，‎ 解得：a∈，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2017•新余二模）已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；‎ ‎（2）根据绝对值的性质证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=，‎ 当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；‎ 当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；‎ 当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，‎ 综上，M=（﹣，3）；‎ ‎（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，‎ ‎∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•宁德期中）已知复数z满足，|z|=5．‎ ‎（1）求复数z的虚部；‎ ‎（2）求复数的实部．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎（2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，‎ ‎∴，∴a=3．‎ ‎∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．‎ ‎（2）当b=4时， ==，其实部为．‎ 当b=﹣4时， ==，其实部为．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•抚顺一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤5；‎ ‎（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得 m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．‎ 解①求得，解②求得，解③求得，‎ 因此不等式的解集为．‎ ‎（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，‎ ‎∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，‎ 即实数m的取值范围为（﹣1，2）．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017春•全国期中）（1）当x＞1时，求证： ；‎ ‎（2）若a＜e，用反证法证明：函数f（x）=xex﹣ax2（x＞0）无零点．‎ ‎【考点】R9：反证法与放缩法．‎ ‎【分析】（1）利用分析法证明即可，‎ ‎（2）利用反证法证明即可 ‎【解答】证明：（1）分析法：∵x＞1，‎ ‎∴要证，‎ 只需证2x4+1＞2x3+x，‎ 即证2x3（x﹣1）＞x﹣1，‎ ‎∵x＞1，‎ ‎∴只需证2x3＞1，‎ ‎∵x＞1，‎ ‎∴2x3＞2＞1，‎ 故得证．‎ 令，则，‎ 即，‎ 则，‎ 从而．‎ ‎（2）反证法：假设函数f（x）=xex﹣ax2（x＞0）有零点，‎ 则f（x）=0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解．‎ 设（x＞0），（x＞0），‎ 当0＜x＜1时，g'（x）＜0；‎ 当x＞1时，g'（x）＞0．‎ ‎∴g（x）≥g（x）min=g（1）=e，‎ ‎∴a≥e，但这与条件a＜e矛盾，‎ 故假设不成立，即原命题得证．‎ ‎【点评】本题考查分析法反证法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•宁德期中）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．‎ ‎（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；‎ ‎（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？‎ ‎【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．‎ ‎（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大．‎ ‎【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．‎ ‎∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，‎ ‎∴DE⊥OB，CF⊥OA．‎ 又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．‎ ‎∴∠DOE=∠COF=，‎ 又OC=OF•cos∠COF ‎∴S△COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ ‎∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）．‎ 由，得cosθ=，‎ ‎∵0＜θ＜，∴θ=．‎ ‎（2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．‎ 记年总收入为y万元，‎ 则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），‎ 所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．‎ 当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．‎ 故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．‎ ‎【点评】本题考查扇形面积、导数的性质及应用、函数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017春•全国期中）已知f（x）=ln（1+x）﹣，x∈R．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；‎ ‎（2）若函数f（x）的最小值为﹣a，求a的值；‎ ‎（3）当x＞﹣1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，求出a的值即可；‎ ‎（3）问题转化为﹣lnk＜，令a=1，则f（x）=‎ ‎，根据函数的单调性求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴f'（0）=1﹣a=5，∴a=﹣4．‎ ‎（2）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=，‎ 令f'（x）=0，则x=a﹣1，‎ ‎①当a﹣1≤﹣1，即a≤0时，在（﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，无最小值．‎ ‎②当a﹣1＞﹣1，即a＞0时，在（﹣1，a﹣1）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 在（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 所以函数f（x）的最小值为f（a﹣1）=lna﹣a+1=﹣a，解得．‎ 综上，若函数f（x）的最小值为﹣a，则．‎ ‎（3）由（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0，‎ 得， +lnk＞0，即﹣lnk＜，‎ 令a=1，则f（x）=，‎ 由（1）可知，当a=1时，f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，‎ 所以在（﹣1，+∞）上，f（x）min=f（0）=0，所以﹣lnk＜0，即k＞1．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎