江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二(上)‎ 期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.数列的通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.‎ ‎【详解】依题意，数列的前几项为：；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 则其通项公式.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.‎ ‎2.已知数据的均值为2，那么数据的均值为（ ）‎ A. 2 B. 5 C. 7 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值线性变换公式，求得新数据的均值.‎ ‎【详解】由数据的均值为，‎ 则数据的均值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数据均值的线性运算：若（）的均值为，则（）的均值为.属于基础题.‎ ‎3.已知，那么下列不等式中一定成立的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．‎ 详解】若，，则，‎ 则，故A不成立；‎ 不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；‎ ‎∵，，∴,故C不成立，‎ ‎，，则，成立，故D正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．‎ ‎4.某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4.如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（ ）‎ A. 60 B. 70 C. 80 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得学校学生占的比例，由此求得学校应抽取的学生数.‎ ‎【详解】学校C中的学生占的比例为，‎ 故学校C应抽取的人数为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.‎ ‎5.已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. -6 D. -8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系依次求得和的值.‎ ‎【详解】依题意，数列的前项和为，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.‎ ‎6.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等比数列性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎7.不等式的解集是，则的值为（ ）‎ A. 14 B. -14 C. 10 D. -10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的两个实数根，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，考查根与系数关系，属于基础题.‎ ‎8.设是等比数列，有下列四个命题：‎ ‎①是等比数列；‎ ‎②是等比数列；‎ ‎③是等比数列；‎ ‎④是等比数列.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.‎ ‎【详解】是等比数列可得（为定值）‎ ‎①为常数，故①正确 ‎②，故②正确 ‎③为常数，故③正确 ‎④不一定为常数，故④错误 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎9.已知数列满足，若，则（ ）‎ A. -1 B. 2 C. 3 D. 2019‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系式判断出数列是周期为周期数列，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意，，‎ 则；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以数列以3为周期的数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.‎ ‎10.若，则时，与的大小关系为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 随值变化而变化 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差比较法，计算得，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11.放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（ ）‎ A. 10 小时 B. 8 小时 C. 12 小时 D. 15 小时 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由16．设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t．‎ ‎【详解】由题意得16．‎ 又不妨设mB＝1．则mA＝2．‎ 设物质B的半衰期为t．‎ 由题意可得：2，解得t＝8．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.正数满足,且恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 略 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有________辆.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得区间的频率，由此求得时速在的汽车的数量.‎ ‎【详解】由已知可得样本容量为200，‎ 又数据落在区间的频率为 时速在的汽车大约有 故答案为：60‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，属于基础题.‎ ‎14.已知数列满足，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用累乘法求得数列的通项公式.‎ ‎【详解】数列满足，‎ 则当时，，‎ 所有的式子相乘得，整理得（首项符合通项）.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，则不等式的解集是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.‎ 考点：分段函数解不等式.‎ ‎16.设正实数满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得到，代入，利用一元二次方程有解，判别式为非负数列不等式，解不等式求得的可能取值范围，利用基本不等式确定的取值范围.‎ ‎【详解】设，所以，代入，‎ 得，化简得，‎ 方程有根，‎ 化简，解得或者 由，所以，所以，‎ 所以.‎ 即的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查表达式最小值的求法，考查一元二次方程有实数根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎17.甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子.‎ ‎（1）求他们抛掷点数相同的概率；‎ ‎（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）列举出所有的基本事件，确定抛掷点数相同的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎（2）根据（1）中列举出的基本事件，确定抛掷骰子的点数之和是的倍数的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子，基本事件：共有36个，用来表示两枚骰子向上的点数 ‎ ‎ 记“他们抛掷点数相同”为事件A，则A包含基本事件：（；，共6种，‎ 故.‎ ‎（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数”为事件B，则B包含基本事件有：‎ ‎，共12种.‎ 故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列举法计算古典概型概率问题，属于基础题.‎ ‎18.设等差数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ,(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（2）根据等差数列前项和公式计算出.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，‎ 由，得，解得，‎ ‎；‎ ‎（2）由，‎ 得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎19.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？‎ ‎【答案】(1)2,(2) 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用原来的成本加上卫生综合整治后增加的成本，求得除尘后总成本的表达式，利用，，求得的值.‎ ‎（2）由（1）求得除尘后总成本的表达式，进而求得总利润的表达式，由此求得每吨产品利润的表达式，利用基本不等式求得每吨产品的利润的最大值，以及此时对应的日产量.‎ ‎【详解】（1）由题意，除尘后，‎ 当日产量时，总成本，‎ 故，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1），‎ 总利润，‎ 每吨产品的利润，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎20.数列中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列前项和；‎ ‎（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,（2）,（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，求得的值.‎ ‎（2）利用，化简后证得是等比数列，由此求得的通项公式.‎ ‎（3）由（2）求得的通项公式，进而求得的通项公式，利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎. ‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ 是首项为，公比为2的等比数列.‎ ‎. ‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查裂项求和法，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎21.一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌与身高进行测量，得到数据（单位：cm）作为样本如表所示：‎ 脚掌长（）‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ 身高（）‎ ‎141‎ ‎146‎ ‎154‎ ‎160‎ ‎169‎ ‎176‎ ‎181‎ ‎188‎ ‎197‎ ‎203‎ ‎（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；‎ ‎（2）若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高；‎ ‎（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.‎ ‎（参考数据：，å，å，，）‎ ‎【答案】（1）,（2）脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.‎ ‎（2）将代入（1）中求得的回归直线方程，求得身高的估计值.‎ ‎（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）由题意知，，‎ ‎，‎ 关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）当时，，‎ 即脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；‎ ‎（3）记身高在180cm以上的4人为A，B，C，D，其中C，D为身高190cm，从这4人中随机抽取2人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，其中有C或D的有5种，‎ 所求概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查古典概型概率计算问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数的值域为，记函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程有5个不等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1,(2) ,(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用配方法，结合二次函数的性质求得的值.‎ ‎（2）将原问题转化为“存在成立”，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎（3）首先判断不是方程的根. 当时，利用换元法，将原方程转化为.通过研究的单调性和值域，结合方程根的个数，求得的取值范围，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 即有时，，‎ 即，解得..‎ ‎（2）由已知可得，‎ 由可转化为，存在成立，‎ 令，‎ 则问题转化为存在使不等式成立，‎ 记，则.‎ ‎（3）当，2时，，所以不是方程的根；‎ 当时，令，‎ 则当时，单调递减，且，‎ 当单调递增，且，‎ 当时，单调递减，且，‎ 当时，单调递增，且，‎ 故原方程有5个不等实根可转化为 即为，‎ 所以或，‎ 当，方程有3个不等根，‎ 故要使得原方程有5个不等实根，只要，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据二次函数值域求参数，考查根据方程根的个数求参数的取值范围，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎