数学文卷·2018届河北省正定中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届河北省正定中学高二上学期期末考试（2017-01）

河北正定中学高二年级第一学期期末考试 数 学 试 题（文） 出题人：尹兰、万建玲 审题人：毛双景 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 2, { | lg(1 )}, { | 1}U R M x y N y y xx        ，则 ( )UN C M  A.  B.[1,2] C. [0,2] D.[2, ) 2. 在复平面内，已知i 是虚数单位，复数 2( 1) ( 1)z x x i    是纯虚数，则实数 x 的值为 A. 1 B.1 C. 1 D. 2 3. 已知 m R ，“方程 1 0xe m   有解”是“函数 logmy x 在区间 (0, ) 为减函数”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知 a ，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a ，那么 c 与 b A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能．．．是相交直线 D.不可能．．．是平行直线 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的 N 的值是 6，那么输 出的 p 的值是 A. 15 B. 105 C. 120 D.720 6. 高二某班共有学生 60 人，座号分别为 1,2,3,…,60 现根据座 号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 5 的样本．已知 4 号、28 号、40 号、52 号同学在样本中，那么样本中还有一个 同学的座号是 A.14 B.16 C.36 D.56 7. 在区间[1,6] 上随机地取一个数 x ，则事件“ 21 log 2x  ”发生的概率为 A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 8. 已知函数 sin(2 2 )( 0)3y x m m    为偶函数，则 m 的最小值为 A. 12  B. 3  C. 5 12  D. 7 12  9. 给出下列结论：在回归分析中 （1）可用相关指数 2R 的值判断模型的拟合效果， 2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果， r 越大，模型的拟合效果越好； （4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这 样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的是 A．（1）（3）（4） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3） 10. 已知圆 2 2: 8 15 0C x y x    ，直线 2y kx  上至少存在一点 P ，使得以点 P 为 圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则 k 的最小值是 A. 4 3  B. 5 4  C. 3 5  D. 5 3  11. 已知双曲线  2 2 1my x m R   与椭圆 2 2 15 y x  有相同的焦点，则该双曲线的渐近 线方程为 A. 3y x  B. 3 3y x  C. 1 3y x  D. 3y x  12. 已知 ,a b R 且 a b ，若 (a bae be e 为自然对数的底数）则下列等式正确的是 A. ln lna b b a   B. ln lna b a b   C. ln( ) ln( )a b b a     D. ln( ) ln( )a b a b     二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 抛物线 24y x 的准线方程为________ 14. 设向量    1 2 1a b m   ， ， ， ，若向量 2a b  与 2a b  平行，则 m  15. 已知 3 2 2( ) 3 9f x x ax a x bc    其中（ 0a  ）有三个零点1, ,b c ，且 1 ,b c  现给 出如下结论：① 10 ;3a  ② 1;3a  ③ 0;b  ④ 0;b  ，则其中正确结论的序号是________ 16.在半径为 2 的球面上有不同的四点  ， ，C ，D ，若 C D 2      ，则平面 CD 被球所截得图形的面积为 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 已知函数 3 2( ) 4 5 4f x x x x    ． （1）求函数 ( )f x 的极值； （2）求曲线在点 (2, (2))f 处的切线方程． 18.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的公差不为零，且满足 1 6a  ， 2a ， 6a ， 14a 成等比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）记 2 ( 1)n n b n a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 19. （本小题满分 12 分） 如 图 ， 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 的 侧 面 1 1ABB A 为 正 方 形 ， 侧 面 1 1BB C C 为 菱 形 ， 1 60 ,CBB   1AB B C ． （1）求证：平面 1 1ABB A  平面 1 1BB C C ； （2）若 2AB  ，求三棱柱 1 1 1ABC A B C 的高. 20. （本小题满分 12 分） 北京某高校在 2016 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩 分组，得到的频率分布表如表所示． （1）求频率分布表中 n，p 的值，并补充完整相应的频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 4、5 组中用分层抽样 的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试，则第 4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ B C B1 B1 A C1 A1 A1 （3）在（2）的前提下，学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试， 求第 4 组至多有 1 名学生被甲考官面试的概率． 21. （本小题满分 12 分） 已知圆 2 2: ( 1) 8C x y   ，定点 (1,0)A ，M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N 在CM 上，且满足 ,AP PM NP MA  ，点 N 的轨迹为曲线 E . （1）求曲线 E 的方程； （2）若过定点 (0,2)F 的直线交曲线 E 于不同的两点 ,G H （点G 在 ,F H 之间），且 满足 FG FH  ，求实数  的取值范围. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数    1 ln 0,f x a x a a Rx     ． （1）若 1a  ，求函数  f x 的极值和单调区间； （2）若在区间 0,e 上至少存在一点 0x ，使得  0 0f x  成立，求实数 a 的取值范围． 高二文科数学期末考试参考答案及评分标准 一、选择题：CBBDB BCCBA AC 二、填空题：13. 14. 15. ②④ 16. 三、解答题:17. 解析：(1) 令 ，得 或 ...............2 分 当 或 时， ,所以 在 和 上是增函数； 当 时， ,所以 在 上是减函数， 时，函数取得极小值 时，函数取得极大值 .....5 分 (2) ...............8 分 所以，切线过点 ，斜率为 1， 故求曲线在点 处的切线方程为 ...................10 分 18. 解析：(1)设等差数列 的公差为 ， ， ， 成等比数列， ,...............2 分 或 （舍） 所以， ..........................................6 分 (2) ，........8 分 ....................12 分 19. 解析：（1）由侧面 ABB1A1 为正方形，知 AB⊥BB1． 又 AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以 AB⊥平面 BB1C1C， 又 ABÌ平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1⊥BB1C1C． .................5 分 （2）设 O 是 BB1 的中点，连结 CO，则 CO⊥BB1． 由（1）知，CO⊥平面 ABB1A1，且 CO＝3 2BC＝3 2AB＝．.........7 分 连结 AB1，则 VC-ABB1 ＝ 1 3 S△ABB1·CO＝ 1 6 AB2·CO＝3 3．............9 分 因 VB1-ABC＝VC-ABB1 ＝3 3 ，则 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的高 ．.............12 分 20. 解析：（1）第 2 组的频数 n=0.35×100=35 人，第 3 组的频率 p= =0.30；...2 分 （2）∵第 4、5 组共有 30 名学生，∴利用分层抽样在 30 名学生中抽取 6 名学生， 第 4 组： ×6=4 人，第 5 组： ×6=2 人，∴分别抽取 4 人、2 人；........6 分 （3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽 两 位 同 学有 种，......8 分 满足条件的事件是第 4 组至多有一名学生被考官甲面试有 种结果，......10 分 ∴至少有一位同学入选的概率为： ．......12 分 （注：其他方法相应给分） 21. 解 析 ： （ 1 ） 根 据 题 意 作 草 图 ， 易 知 为 的 中 垂 线 ， ，又 ， 故 的轨迹 必为椭圆，即 ......3 分 ， 曲线 E 的轨迹方程为： ....5 分 （2）过点 的直线与椭圆 分别交 两点. 1 当直线 的斜率不存在时，则方程为 ，显然有 ......7 分 2 直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 则 有 ， 设 ， 又 ， 于 是 有 . ......9 分 由于 ，则 ， ， ， ， 由于 ， ，由题意知 ， ，解得 ， 综上①②知 . …………………………………………………12 分 22. 解析：(1) 的定义域为 ， ， ，令 ，得 ,......2 分 所以， 随 的变化情况如下表： 1 0 ↘ 极小值 ↗ 所以 时， 的极小值为 1．无极大值. ....3 分 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；........5 分 (2)在区间 上至少存在一点 ，使得 成立， 即在区间 上 的最小值小于 0，......7 分 的定义域为 ， ，令 ，得 ， ①当 ，即 时，则 对 恒成立，所以 在区间 上 单调递减，所以， 在区间 上的最小值为 得 ; ②当 ，即 时，则 对 恒成立，所以 在区间 上单调递减，所以， 在区间 上的最小值为 ，这与条件不符； ③当 ，即 时， 0 ↘ 极小值 ↗ 所以， 在区间 上的最小值为 ， 由 ，得 ； 综上， 或 .........12 分