2018-2019学年广西梧州市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年广西梧州市高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 广西梧州市2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（　　）‎ A．16 B．8 C．7 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.‎ ‎2．已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，‎ 则根据复数的运算，得.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：‎ ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～300‎ ‎300以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图．‎ 根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）‎ A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C．从数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；‎ 从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；‎ 从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.‎ ‎4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”‎ ‎，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则.‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的概率为 故选A.‎ ‎5．已知满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎6．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，根据导数得到是方程的实根，根据等差数列的性质得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，又是函数的极值点，∴是方程的实根，由韦达定理可得.等差数列的性质可得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于　　‎ A．24 B．30 C．10 D．60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．‎ ‎【详解】‎ 根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体 几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，‎ 如图所示：‎ 由题意：原三棱柱体积为：‎ 截掉的三棱锥体积为：‎ 所以该几何体的体积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎8．若是两个非零向量，且，则与的夹角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.‎ ‎【详解】‎ 形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.‎ 与的夹角为 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.‎ ‎9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）‎ A．-55 B．-61 C．-63 D．-73‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.‎ ‎【详解】‎ 令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.‎ ‎10．在中，分别为内角的对边，若，，且，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用正弦定理可得:， ① ‎ 由余弦定理可得：， ②‎ 由，得， ③‎ 由① ② ③得，，故选C.‎ ‎11．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数解得，设 ‎，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，令.‎ 则为内的偶函数，‎ 当时，，‎ 所以在内单调递减 又，故，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.‎ ‎12．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于， 两点，与抛物线的准线相交于， ，则与的面积之比（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵抛物线方程为，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。‎ 如图，设， ，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，‎ 由抛物线的定义可得，∴。‎ 将代入得，‎ ‎∴点的坐标为。‎ ‎∴直线AB的方程为，即，‎ 将代入直线AB的方程整理得，解得或（舍去），‎ ‎∴，∴。‎ 在中， ，‎ ‎∴,‎ ‎∴。选C。‎ 点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．‎ 视频 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象在处的切线与直线垂直,‎ 函数的图象在的切线斜率 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎14．设变量满足约束条件，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，如图所示。‎ 表示可行域内的点与点连线的斜率。‎ 结合图形得，可行域内的点A与点连线的斜率最大。‎ 由，解得。所以点A的坐标为。‎ ‎∴。‎ 答案：‎ 点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.。‎ ‎15．当双曲线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线M：，显然，‎ 双曲线的离心率，‎ 当且仅当时取等号，‎ 此时双曲线M：，则渐近线方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．‎ ‎【答案】4038.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．‎ ‎【详解】‎ 由知：‎ 得函数的图象关于点对称 又函数的图象关于点对称 则函数图象与函数图象的交点关于点对称 则 故，‎ 即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）若为等比数列，求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和关系得到，验证时的情况得到，再利用等比数列公式得到数列的通项公式.‎ ‎（2）计算数列的通项公式，利用分组求和法得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时， ，与已知式作差得，即，‎ 欲使为等比数列，则，又.‎ 故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以.‎ ‎（2）由（1）有得.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式，分组求和法求前n项和，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值）的定价为16元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出10件这种产品，记表示这件产品的利润，求.‎ 附：，若，则.‎ ‎【答案】（1）200,150；（2）（i）；（ⅱ）280.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用样本平均数和样本方差公式计算得到答案.‎ ‎（2）（i）先判断，则 ‎（ⅱ）Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，计算，再计算 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 ‎.‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即样本平均数为200，样本方差为150.‎ ‎（2）（i）由（1）可知，，‎ ‎∴‎ ‎（ⅱ）设Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数学期望，方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19．如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中, 为侧面的对角线的交点, 分别为棱的中点.‎ ‎(1)求证:平面//平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线线平行证明平面//平面，‎ ‎（2）以C为坐标原点建系求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明分别为边的中点，可得,‎ 又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得故有， ‎ 由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，可得. ‎ 由， 平面，， 平面，得 平面， 平面， ，可得平面 平面. ‎ ‎（2）为轴建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎ ‎ 则 ， ‎ 设平面的一个法向量为，取，有 ‎ 同样可求出平面的一个法向量，‎ ‎， ‎ 结合图形二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式求解二面角。‎ ‎20．已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为 ‎（1）求椭圆的方程. ‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．‎ 试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故 ‎，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.‎ ‎21．已知，函数.‎ ‎（1）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（2）若在内有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算函数的导函数，得到对应方程的根为，讨论三种情况得到答案.‎ ‎（2）计算的导数，根据单调性计算函数的最小值，根据解得范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），令，解得.‎ 当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；‎ 当时，即时，函数在定义域上单调递增；‎ 当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.‎ ‎（2）若在内有解，‎ 则 由（1）可知，当，即时，∵，∴，函数在上单调递增，‎ ‎，解得；‎ 当，即时，∵，∴在时， ，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，‎ ‎∴‎ 令，函数在上单调递增.‎ ‎∴恒成立，∴.‎ 当，即时，∵，∴，函数在上单调递减，‎ 不成立.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性的讨论，存在性问题，将存在性问题转化为函数的最小值是解题的关键，也可以用参数分离的方法求解.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】(1) ，;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得的极坐标方程。‎ ‎（2）联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线的参数方程为（为参数），‎ 得曲线的普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，‎ 即.‎ 因为直线过原点，且倾斜角为，‎ 所以直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设点，对应的极径分别为，，‎ 由，‎ 得，‎ 所以，，‎ 又，，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和，属于中档题。‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若的最小值为3，求实数的值；‎ ‎（2）若时，不等式的解集为，当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）或；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式得到，计算得到答案.‎ ‎（2）去绝对值符号，解不等式得到集合，利用平方作减法判断大小得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为（当且仅当时取“=”）.‎ 所以，解得或.‎ ‎（2）当时，.‎ 当时，由，得，解得，又，所以不等式无实数解；‎ 当时，恒成立，所以；‎ 当时，由，得，解得，又，所以；‎ 所以的解集为.‎ ‎ .‎ 因为，所以，所以，‎ 即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键.‎