数学（文）卷·2019届河北省衡水中学滁州分校高二下学期第一次月考（2018-04）

数学（文）卷·2019届河北省衡水中学滁州分校高二下学期第一次月考（2018-04）

启用前绝密 河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期第一次月考试卷 高二文科数学 注意事项：‎ ‎1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟 ‎ ‎2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎3．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，共60分。) ‎ ‎1.已知复数 z=(1-i)(1+2i)，其中 i 为虚数单位，则 的实部为（ ） A.-3 B.1 C.-1 D.3‎ ‎2.设是虚数单位，则等于（ ） A.1 B.4 C.2 D.‎ ‎3.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表： 现已求得上表数据的回归方程=x+中的的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为（　　） A.93分钟 B.94分钟 C.95分钟 D.96分钟 ‎4.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ） ‎ ‎ A.性别与喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的比为80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 D.男生不喜欢理科的比为60%‎ ‎5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ 　）‎ A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 等价条件 ‎6.设复数z的共轭复数为 ， 若z=1-i（i为虚数单位），则的值为( ) A.-3i B.-2i C.i D.-i ‎7.设复数,则复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理数根，那么 、 、 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A.假设 、 、 都是偶数 B.假设 、 、 都不是偶数 C.假设 、 、 中至多有一个是偶数 D.加速 、 、 中至多有两个是偶数 ‎9.圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.对具有线性相关关系的变量， 有一组观测数据（），其回归直线方程是，且 ，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.下列命题中：‎ ‎①线性回归方程必过点；‎ ‎②在回归方程中，当变量增加一个单位时， 平均增加5个单位；‎ ‎③在回归分析中，相关指数为0.80的模型比相关指数为0.98的模型拟合的效果要好；‎ ‎④在回归直线中，变量时，变量的值一定是-7．‎ 其中假命题的个数是 ( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎12.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：‎ 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 ‎18‎ ‎9‎ ‎27‎ 不喜欢玩电脑游戏 ‎8‎ ‎15‎ ‎23‎ 总数 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据表中数据得到5.059，因为p(K≥5.024)=0.025,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）‎ A. 97.5% B. 95% C. 90% D. 无充分根据 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(本大题共4个小题，共20分。)‎ ‎13.已知复数z满足z2=﹣4，若z的虚部大于0，则z=    ．‎ ‎14.某校在对学生是否喜欢数学的抽样调查中，随机抽取了300名学生，相关的数据如表所示： 由表中数据直观分析，该校学生的性别与是否喜欢数学之间    关系（填“有”或“无”）．‎ ‎15.已知 ‎……‎ 按以上述规律，则…+_______________.‎ ‎16.下列说法中正确的有   . ①函数关系是一种确定性关系;②相关关系是一种非确定性关系;③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法;④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)‎ ‎17.解答下面两个问题： （Ⅰ）已知复数 ，其共轭复数为 ，求 ； （Ⅱ）复数z1=2a+1+（1+a2）i，z2=1﹣a+（3﹣a）i，a∈R，若 是实数，求a的值．‎ ‎18.阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣① sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣② 由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ 令α+β=A，α﹣β=β　有α= ，β= 代入③得　sinA+sinB=2sin cos ． （1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值； （2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．‎ ‎19.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎ （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）‎ P（ K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎20.某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？‎ ‎(2)判断是否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？‎ 附： , n=a+b+c+d.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21.设Sn＝＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．‎ ‎22.数列满足 ）.‎ ‎（1）计算，并由此猜想通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.‎ 高二文科数学 参考答案 一、选择题(本大题共12个小题，共60分。) ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A C A D B B C C C A 二、填空题(本大题共4个小题，共20分。)‎ ‎13.2i ‎14.有 ‎15.‎ ‎16.①②④ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ． ‎ ‎∴ ．‎ ‎ ，‎ ‎∴ = ；‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎∵ 是实数，∴a2+a﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，‎ 故a=1，或a=﹣2．‎ ‎18.（1）解：∵sinA+sinB=2sin cos ， ‎ ‎∴sin15°+cos75°=2sin cos ，‎ ‎=2sin45°•cos（﹣30°）= ，‎ ‎∴sin15°+cos75°= ‎ ‎（2）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣① ‎ cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②‎ ‎①+②得cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，③‎ 令α+β=A，α﹣β=B 有α= ，β= ，‎ 代入③得：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．‎ ‎∴cosA﹣cosB=﹣2sin cos ‎ ‎19. 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ K2= = ≈3.03，‎ 因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎ （2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ， ‎ 由题意X∽B（3， ），从而分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X）=np=3× = ．D（X）=npq=3× × = ．‎ ‎20.（1）（2）见解析 ‎【解析】 (1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为. ‎ 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为 . ‎ ‎(2) ‎ ‎∵K2>10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系 ‎21.Sn＝‎ ‎【解析】n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.‎ 猜想：Sn＝.‎ 证明如下： ，‎ ‎∴Sn＝.‎ ‎22.（1）， ；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1），由此猜想；‎ ‎（2）证明：当时， ，结论成立；假设（，且），结论成立，即 当（，且）时， ，即，所以 ‎，这表明当时，结论成立，‎ 综上所述， .‎