福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

‎2019年春季南侨中学高二年文科第一阶段考试 数学试题 命题人：卢晓聪 审核人：王振清 ‎ 满分：150 考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 复数的共轭复数的模为（　　）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ 2. 复数z=的虚部为（　　）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ 3. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a=-b．则当x=6时，y的预测值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于‎2”‎，提出的假设应该是（）‎ A. a、b中至少有二个不小于2 B. a、b中至少有一个小于‎2 ‎C. a、b都小于2 D. a、b中至多有一个小于2‎ 5. 若z=1+2i，则=（　　）‎ A. 1 B. C. i D. ‎ 6. 将参数方程（为参数）化为普通方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1-3i，则a=（　　）‎ A. B. 或‎1 ‎C. 2或 D. 1‎ 1. 在极坐标系中，点（，）到直线ρsin（θ-）=-的距离是（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ 2. 我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（　　）‎ A. 58 B. ‎59 ‎C. 60 D. 61‎ 3. 已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 定义运算=ad-bc，若z=，则复数对应的点在（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…一直数到2016时，对应的指头是（　　）‎ A. 小指 B. 中指 C. 食指 D. 大拇指 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_______.‎ 7. 在极坐标系中，已知A（2，），B（4，），则△AOB的面积S= ______ ．‎ 8. 在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=______．‎ 1. ‎1934年，来自东印度（今孟加拉国）的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第8行第7列的数是______ ． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 2. 已知m∈R，复数（i是虚数单位）． （1）若复数z是实数，求m的值； （2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围． ‎ 3. 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：‎ 使用年限x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 总费用y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎（ 1）在给出的坐标系中做出散点图； （2）求线性回归方程=x+中的、； （3）估计使用年限为12‎ 年时，车的使用总费用是多少？ （最小二乘法求线性回归方程系数公式=， =-）． ‎ 1. 在数列{an}中，a1=1，当n≥2时， （1）求a2，a3，a4； （2）猜想数列{an}的通项an，并证明你的结论． ‎ 2. 国际奥委会将于‎2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ ‎  ‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎80 ‎ 年龄大于50岁 ‎10 ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎70 ‎ ‎100 ‎ 根据已知数据，把表格数据填写完整； 能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ 已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率． 附：，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ k ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）． （1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值； （2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． ‎ ‎答案和解析 ‎1.【答案】B 【解析】‎ 解：∵=， ∴． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ 解：∵z==， ∴复数z=的虚部为-1． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ 解：由题意可知：==2，==4.5， 由a=-b=4.5-0.95×2=2.6， ∴=0.95x+2.6， ∴当x=6，=0.95×6+2.6=8.3， ∴y的预测值为8.3， 故选C． 线性回归方程=0.95x+2.6，必过样本中心点（，），首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值． 本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计 算能力，属于基础题．‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ 解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立， 而命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于‎2”‎的否定为“a、b都小于‎2”‎， 故选C． 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b都小于‎2”‎，从而得出结论． 本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．‎ ‎5.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．利用复数的乘法运算法则，化简求解即可． 【解答】 解：z=1+2i，则===i． 故选C． ‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查参数方程化为普通方程，注意变量的范围．两个方程，消去，可得，确定的范围，可得普通方程． 【解答】 解：由第一个方程，可得1≤x≤3， 两个方程，消去θ，可得y=x-2， ∴将参数方程（为参数）化为普通方程是， ‎ 故选C．‎ ‎7.【答案】A 【解析】‎ 解：∵z=a+i， ∴z2+z=（a+i）2+a+i=a2+a-1+2ai+i=1-3i， ∴，解得a=-2． 故选：A． 把z=a+i代入z2+z=1-3i，整理后利用复数相等的条件列式求得a值． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．‎ ‎8.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，可得点到直线的距离．本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，求点到直线的距离，属于基础题. 【解答】 解：点（，）的直角坐标为（1，1）， 直线ρsin（θ-）=-的普通坐标方程为：y-x=-，即3x-y-3=0， 故点到直线的距离为d==， 故选：B. ‎ ‎9.【答案】C 【解析】‎ 解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家， 当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内， ‎ 小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20， 小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5， 三个女儿同时回娘家的天数是1， 从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有： 33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选：C． 小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，其中小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数． 本题考查有女儿回家的天数的求法，考查分类讨论、集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ 解：由z+3i=a+ai， 得z=a+（a-3）i， 又∵复数z是纯虚数， ∴，解得a=0． 故选：B． 把已知等式变形，再结合已知条件即可求出a的值． 本题考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解：由已知可得，z==1×i2-2i=-1-2i， ∴， 则复数对应的点的坐标为（-1，2），在第二象限， 故选：B． 利用已知定义结合虚数单位i的运算性质求得z，进一步得到，求得的坐标 得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎12.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 此题是个中档题．考查学生观察、归纳和分析解决问题的能力．只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可． 关键规律为：大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，其中n∈Z．食指、中指、无名指对的数介于它们之间． 【解答】 解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，其中n∈Z， 又∵2013=251×8+5， ∴数到2013时对应的指头是小指． 故知数到2016时对应的指头是食指． 故选C． ‎ ‎13.【答案】-2 【解析】‎ ‎【分析】 ​运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值， ​本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题． 【解答】‎ 解：a∈R，i为虚数单位， ===-i 由为实数， ‎ 可得-=0， 解得a=-2． 故答案为-2． ‎ ‎14.【答案】2 【解析】‎ 解：在极坐标系下，点A（2，），B（4，），O是极点， ∴OA=2，OB=4，∠AOB=， 则△AOB的面积等于×2×4×=2， 故答案为：2． 根据点的极坐标可得OA=2，OB=4，∠AOB=，利用三角形的面积公式，即可求出△AOB的面积． 本题主要考查点的极坐标的定义，三角形的面积公式，属于基础题．‎ ‎15.【答案】1+ 【解析】‎ 解：圆ρ=2cosθ， 转化成：ρ2=2ρcosθ， 进一步转化成直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1， 把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y-a=0． 由于直线和圆相切， 所以：利用圆心到直线的距离等于半径． 则：=1， 解得：a=1±．a＞0 则负值舍去． 故：a=1+． 故答案为：1+． 首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线 的距离等于半径求出结果． 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．‎ ‎16.【答案】127 【解析】‎ 解：由题可知，第1行的数字公差为3，第2行公差为5，第3行公差为7，…… 第n行，公差为3+2(n-1)=2n+1， 则第8行公差为为2×8+1=17， 第1行第一个数为4，第2行第一个数为7，第3行第一个数为10，…… 第n行第一个数为4+3(n-1)=3n+1， 则第8行第一个数为3×8+1=25 第8行的第7个数就是25+（7-1）×17=127． 故答案为：127． 通过图表观察，每一行的公差为3，5，7，…，2n+1．再由等差数列的通项公式，即可得到所求值． 本题给出“正方形筛子”的例子，求表格中的指定项，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于基础题．‎ ‎17.【答案】解：（1）∵是实数， ∴，解得m=3； （2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限， ∴，解得-2＜m＜-1． ∴m的取值范围是（-2，-1）． 【解析】‎ ‎ （1）直接由虚部为0求解； （2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎18.【答案】解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系． ； （2）∵=4， =5，xiyi=112.3，=90， ∴= ==1.23； =-x=5-1.23×4=0.08． （3）线性回归直线方程是=1.23x+0.08， 当x=12（年）时， =1.23×12+0.08=14.84（万元）． 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元． 【解析】‎ 本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心． （1）利用描点法作出散点图； （2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程； （3）把x=12代入回归方程得y值，即为预报变量．‎ ‎19.【答案】解：（1）∵数列{an}中，a1=1，当n≥2时，， ∴a2=，a3=，a4=； （2）猜想an=． ∵当n≥2时，， ∴=+， ∴-=， ∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列， ‎ ‎∴=， ∴an=． 【解析】‎ ‎ （1）利用条件，代入计算，可求a2，a3，a4； （2）猜想数列{an}的通项an，证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，即可证明结论． 本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20.【答案】解：（1）‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（ 2）， 所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关； （3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个， 其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde， 所以所求概率是． 【解析】‎ 本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错． （1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表； （2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论； ‎ ‎（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．‎ ‎21.【答案】解：（1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x-2）. 令y=0，解得x=2，可得M（2，0）.圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2-4y=0，即x2+（y-2）2=4. |MC|=2，∴|MN|的最大值为2+2. （2）圆C的方程为：x2+（y-a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y‎-4a=0， 圆心C到直线l的距离d==. ∴=2，解得a=. 【解析】‎ 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. （1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x-2）．可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2，可得|MN|的最大值为2+2. （2）圆C的方程为：x2+（y-a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y‎-4a=0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出.‎ ‎22.【答案】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y-1）2=a2． ∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0．① 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2-2ρsinθ+1-a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，②‎ ‎ 即（x-2）2+y2=4． 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上， ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①-②得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ， ∴1-a2=0， ∴a=1（a＞0）． 【解析】‎ ‎ （Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0，则a值可求． 本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．‎