数学理卷·2017届吉林省实验中学高三下学期第八次模拟考试（期中）（2017

数学理卷·2017届吉林省实验中学高三下学期第八次模拟考试（期中）（2017

吉林省实验中学2017届高三年级第八次模拟考试 数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：黄海燕 审题人：周春堂 2017年5月2日 第 Ⅰ 卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）若，则＝‎ ‎（A） （B）1 （C）5 （D）25‎ ‎（2）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知平面向量，且，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知，则的值等于 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）函数的部分图象大致是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知[x]表示不超过x的最大整数．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出z的值为 ‎（A）1.2 （B）0.6 ‎ ‎（C）0.4 （D）－0.4‎ ‎（7）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，‎ 要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 ‎（A）336种 （B）320种 ‎ ‎ （C）192种 （D）144种 ‎（8）若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，则函数在区间内所有零点的和为 ‎（A）16 （B）30 （C）32 （D）40‎ 第 Ⅱ 卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎（13）△中，、、分别是角、、所对的边，若， 则 ． ‎ ‎（14）已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是_________．‎ ‎（15）若二项式的展开式中的常数项为m，则_________．‎ ‎（16）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值．假如统计结果是m＝56，那么可以估计__________．（用分数表示）‎ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知正项等比数列满足成等差数列，且． ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，， ，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3‎ 名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎5 1 2 3 4 5 6 7 8‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9 3 4‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，侧棱平面，△为等腰直角三角形，‎ ‎，且分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过 点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于两点，求点到两 点的距离之积．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ 吉林省实验中学2017届高三年级第八次模拟考试 数学（理科）参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C C A D A A B D D C 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎（13）； （14）； （15）； （16）．‎ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设正项等比数列的公比为 由, …………………………… 2分 因为,所以. ………………………………3分 又因为成等差数列,所以 ‎ ………………………………5分 所以数列的通项公式为. ……………………………… 6分（Ⅱ）依题意得,则 ……………………………… 7分 ‎………… ‎…………‚ 由‚-得 所以数列的前项和 ………………………………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，‎ ‎ .………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，‎ 共7人.‎ 抽取的3名学生中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则 ‎，，.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列为 ‎…………………………………………………………………………………………10分 所以.………………………………………………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.‎ 又三棱柱为直三棱柱， ∴面面，‎ ‎∴面，. -------2分 设，则.‎ ‎∴，∴. -------------------4分 又，∴ 平面. -------------------6分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，‎ 则，‎ ‎，.‎ ‎-------------------7分 由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎∴可取平面的法向量.‎ ‎-------------------8分 设平面的法向量为，‎ 由 ‎∴可取. -------------------10分 设锐二面角的大小为，‎ 则.‎ ‎∴所求锐二面角的余弦值为. -------------------12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 则，‎ 点在椭圆C上 ，即 当时，的最小值为1. -------------------4分（Ⅱ） -----------5分 设，由得 ‎ -----------7分 ‎ -----------8分 ‎ 直线PQ的方程为 由得 ‎ ------10分 若四边形PABQ能成为平行四边形，则，即 解得，则符合题意的直线l存在，且方程为，即 ‎ -----------12分 注：第二问也可利用椭圆的对称性直接得到直线PQ过点F2，由此得到，酌情给分。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）,函数在处的切线平行于直线.. ………………………………3分 ‎ ‎（Ⅱ）令， 得 ………………4分 记，由此可知 在上递减，在上递增， ………………5分 且时 ………………6分 故时，在无零点 时，在恰有一个零点 时，在有两个零点 ………………………………8分 ‎（Ⅲ）在上存在一点,使得成立等价于函数在上的最小值小于零.‎ ‎, ……………9分 ‎①当时,即时,在上单调递减,所以的最小值为,由可得,；………10分 ‎②当时,即时,在上单调递增,所以的最小值为,由可得； ………………………………11分 ‎③当时,即时,可得的最小值为此时,不成立. ………………………………12分 综上所述:可得所求的范围是或 ‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）曲线化为普通方程为：, ………………………2分 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为 . ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）， ……………………8分 代入化简得：， …………………………9分 设两点所对应的参数分别为，则， ‎ ‎∴. …………………………………………10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时, ,原不等式等价于 或或 解得: 或或,所以不等式的解集为或 ．．．．5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎．．．．10分