2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期半期考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期半期考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二下学期半期考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题，的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】按存在性命题的否定的规则写出即可.‎ ‎【详解】‎ 因命题为“，”，它是存在性命题，‎ 故其否定为： ，选B.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2．抛物线上的点到其焦点的距离为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用焦半径公式可得的长度.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 如果抛物线的方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为.‎ ‎3．圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.‎ ‎【详解】‎ 若，，则有可能在面内，故A错误；‎ 若，，有可能在面内，故B错误；‎ 若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．‎ 若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.‎ ‎5．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为 ‎，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则 ‎6．展开式中项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】考虑的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.‎ ‎【详解】‎ 的通项公式为，‎ 故的二项展开式中的常数项为，‎ 一次项系数为，二次项的系数为，‎ 展开式中的系数为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．‎ ‎7．某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（ ）‎ A．1080 B．540 C．180 D．90‎ ‎【答案】A ‎【解析】先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.‎ ‎【详解】‎ 不同的方案有，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．‎ ‎8．平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线是中心对称的，‎ 故平行四边形的顶点关于原点对称，‎ 设，，则，故，，‎ 所以，整理得到：‎ 即，故即，‎ 所以渐近线方程为即，选A.‎ ‎【点睛】‎ 直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.‎ ‎9．观察：，，，， ，，从而得到47的二进制数为，记作：，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（ ）‎ A．202 B．1202 C．021 D．2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】把分解为后可得其三进制数的表示.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.‎ ‎10．定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，即 ‎ 令，则在上为增函数，，即，亦即 ，亦即，故选.‎ ‎【点睛】‎ 如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.‎ 二、填空题 ‎11．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依据系统抽样可知学号是公差为的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.‎ ‎【详解】‎ 因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为的等差数列，故余下一个同学的学号为.填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样的性质，属于基础题.‎ ‎12．已知随机变量满足,，__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以，填.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果，，那么，.‎ ‎13．设，若，则非零实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对题设中的等式两边求导后再令可得，从而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 对等式两边求导后可得 ‎，‎ 令，则有，‎ 因，故即，填.‎ ‎【点睛】‎ 二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 如图，几何体为三棱锥， 将三棱锥补形为直三棱柱，‎ 其中底面为等腰直角三角形，其外接圆的半径为，侧棱 ，‎ 故外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．‎ 三、解答题 ‎15．在直角坐标系中，直线的参数方程为 （其中为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）曲线的极坐标方程可以化为，利用 可得其直角坐标方程.‎ ‎（2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程可化为，因为，‎ 所以直角坐标方程为；‎ ‎（2）设直线上两点的参数分别为，，‎ 则， ，‎ 将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，‎ 化简得，则 ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．‎ ‎16．我校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下:‎ 甲班 ‎　‎ 乙班 ‎2‎ ‎9‎ ‎0 1 5 6 8‎ ‎6 6 4 3 2‎ ‎8‎ ‎0 1 2 5 6 6 8 9‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎3 6 8‎ ‎8 3 2 2‎ ‎6‎ ‎5 7 9 9 ‎ ‎3 2 2 1 1‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎9 8 7 7‎ ‎4‎ ‎　‎ 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？‎ ‎（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件 表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求.‎ ‎（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”‎ 下面临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10．828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析.‎ ‎【解析】（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.‎ ‎（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.‎ ‎（3）利用给出的公式计算出的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.‎ ‎（2）根据题意得 ‎ ‎（3）根据题意得到列联表为 ‎ ‎ 甲班 乙班 合计 优秀 ‎3‎ ‎10‎ ‎13‎ 不优秀 ‎17‎ ‎10‎ ‎27‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.‎ ‎17．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）可证平面平面，从而可证平面.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）底面是菱形，，‎ 因平面，平面，所以平面.‎ 同理，平面，，平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（2）底面，即为直线与平面所成的角，‎ 故，中,，‎ 又底面是边长为2的菱形，，‎ 取中点，连，则，‎ 以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,,,,,‎ 底面,，又底面是菱形，,‎ 平面，平面的法向量取 ,‎ 设平面的法向量，则：,‎ ‎ ，令得,‎ ‎,‎ 二面角的大小为.‎ ‎【点睛】‎ 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎18．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.‎ ‎（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；‎ ‎（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；；；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.‎ ‎（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2） ，‎ 利润的分布列为 ‎48000‎ ‎56000‎ ‎60000‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎（元）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题.‎ ‎19．椭圆的左焦点为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点，椭圆上另一点满足的重心为坐标原点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）列出关于方程组，解出它们可得椭圆的方程.‎ ‎（2）设，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到，利用该式化简的面积表达式可得其值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意： 解得，‎ 椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设 ，则 由于的重心为坐标原点，所以.‎ 联立 ,得，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 在椭圆上， ，‎ 即 ，‎ 在椭圆上, ,，‎ ‎，即，即，‎ ‎，‎ 的重心为坐标原点，到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即 即，‎ ‎，‎ ‎ ， .‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若恒成立，求的最小值的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题设有，参变分离后可得的取值范围.‎ ‎（2）等价于，令，分和后可得，其中，故即，从而，令，利用导数可求其最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎ ，‎ 若函数 在单调递增，‎ ‎ 对任意恒成立，‎ ‎ ， 在单调递减，‎ 当时，，.‎ 故所求实数的取值范围为.‎ ‎（2） 即 令 ，则恒成立 ‎ ‎ 若，则当时，与恒成立矛盾，所以,‎ 由得，‎ 当时 ，单调递增；‎ 当时， 单调递减；‎ ‎，，‎ ‎ ， ,的最小值 .‎ 又，‎ 当时， ，单调递增；‎ 当时， ，单调递减，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．‎