数学（理）卷·2019届江西省高安中学高二上学期第三次考试（1月）（2018-01）

数学（理）卷·2019届江西省高安中学高二上学期第三次考试（1月）（2018-01）

江西省高安中学2019届高二年级上学期第三次考试 ‎　　　　　　　　　　　数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知命题，“为真”是“为假”的（ ）‎ 必要不充分条件 　　　　　　充分不必要条件 ‎ 充要条件 　　　　　既不充分也不必要条件 ‎2.双曲线的虚轴长是（ ）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎3.已知向量，，且与互相平行，则的值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎4.已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值（ ）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎5.用反证法证明命题“设，，，那么的两根的绝对值都小于1”时，应假设(　　)‎ ‎ 方程的两根的绝对值存在一个小于1‎ ‎ 方程的两根的绝对值至少有一个大于等于1‎ ‎ 方程没有实数根 ‎ 方程的两根的绝对值都不小于1‎ ‎6.函数的单调递减区间为（　　）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎7.已知直线过点，且与曲线相切，则直线的方程为（　　）‎ ‎　　　　‎ ‎8.长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　　）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎9.《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（ ）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎10.已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为（　　）‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎11.“已知实数，满足，求的最大值”时，可理解为在以点为圆心，以为半径的圆上找一点，使它到原点距离最远问题，据此类比到空间，试分析：已知实数，，满足，求的最大值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎12.定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)‎ ‎13.函数在区间的极值为________.‎ ‎14.已知实数满足，则的最大值___________.‎ ‎15.在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为________.‎ ‎16.双曲线与抛物线有相同的焦点，且相交于两点，连线经过焦点，则双曲线的离心率为．‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.（10分）已知命题：，命题：．‎ （1） 若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；‎ （2） 若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）在中，内角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎19.（12分）设是公差不为零的等差数列，，为其前项和， .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若对于任意的都有，求的最小值.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，，底面为正方形，，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21.已知椭圆：（）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.‎ ‎22.设函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）令（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.‎ ‎　　 江西省高安中学2019届高二年级上学期第三次考试 ‎　　　　　　　　　数学（理科）试题(答案)‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C B B C A B D B C B 二、 填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）.‎ 13. ‎ 14.‎ 15. ‎ 16.‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分).‎ ‎17.（10分）（1）若真：，若真：，‎ 由已知，、一真一假.‎ ‎①若真假，则，无解；‎ ‎②若假真，则，∴的取值范围为.‎ ‎（2）对于：，由已知,对任意，恒成立，‎ 故，故 ‎18.（12分）解：（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴解得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴由余弦定理可得：，‎ 即：，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为 ‎19.（12分）（1）设数列的公差为 因为，‎ 所以，即 所以 又因为，所以，。‎ 所以 （2） ‎,故 ‎，故的最小值为 ‎20.（12分）解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．‎ 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E，P(0，0，2),F.‎ ‎∵·＝·(0，2，0)＝0.‎ ‎∴⊥，∴EF⊥CD.‎ ‎(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2，1)，‎ 设DB与平面DEF所成角为θ，则sin θ＝.‎ ‎21.（12分）（1）联立解得，故 又，，联立三式，解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，‎ 联立方程消元得，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 又是一个与无关的常数，∴，‎ ‎∴，.∵，∴.‎ 当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.‎ ‎22.（12分）（1）依题意，知的定义域为，‎ 当时,，‎ ‎，‎ 当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 ‎（2），，‎ ‎∴，在上恒成立，‎ 所以，，‎ 当时，取得最大值，所以．‎ ‎（3）当，时，，‎ ‎∵方程在区间内有唯一实数解，‎ ‎∴有唯一实数解，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ 令，得；，得，‎ ‎∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，或．‎