浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数（教师版）
浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数
一、选择题
1 ．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数,若有且仅有一个正实数,使得对任意的正数t都
成立,则= （ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
2 ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若函数,则下列命题正确的是 （ ）
A．对任意,都存在,使得
B．对任意,都存在,使得
C．对任意,方程只有一个实根
D．对任意,方程总有两个实根
【答案】B
二、填空题
3 ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）若时,不等式恒成立,则的取值范围是_______.
【答案】
三、解答题
4 ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）已知,函数.
(Ⅰ)若,求函数的极值点;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求的取值范围.
(为自然对数的底数)
【答案】解:(Ⅰ)若,则,.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减
又因为,,所以
当时,;当时,;
当时,;当时,
故的极小值点为1和,极大值点为
(Ⅱ)不等式,
整理为.(*)
设,
则()
①当时,
,又,所以,
当时,,递增;
当时,,递减.
从而.
故,恒成立
②当时,
.
令,解得,则当时,;
再令,解得,则当时,.
取,则当时,.
所以,当时,,即.
这与“恒成立”矛盾.
综上所述,
5 ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知函数,它的一个极值点是.
(Ⅰ) 求的值及的值域;
(Ⅱ)设函数,试求函数的零点的个数.
【答案】
6 ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知函数,R.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
(注:为自然对数的底数.)
【答案】解:(Ⅰ) 当时,,则
故,
所以曲线在点处的切线方程为即为;
(Ⅱ)由题,
令,注意的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有
(1),单调递增,
所以有 得;
(2)当即时,单调递减,
所以有 得,故只有符合;
(3)当即时,记函数的零点为,
此时,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
因为是函数的零点,所以,
故有
令,,则
所以函数在上单调递减,故恒成立,
此时,;
综上所述,实数的取值范围是
7 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知.
(Ⅰ)判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;
(Ⅱ)若求的最大值;
(Ⅲ)若,求证:.
【答案】
8 ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）定义,
(1)设函数,试求函数的定义域;
(2)设函数的图象为曲线C,若存在实数b,使得曲线C在其上横坐标为的点处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;
(3)当且时,证明:.
【答案】解:(1),即 得函数的定义域是,
(2)
设曲线处有斜率为-8的切线,
又由题设
①②③
∴存在实数b使得 有解,
由①得代入③得, 有解,
易得:,因为,所以,
当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为-8的切线
(3)当且时
令
又令 ,
单调递减.
单调递减,
,故不等式得证
9 ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本題满分15分)
已知函数.
(I)若关于x的不等式f(x)≤m恒成立,求实数m的最小值:
(II)对任意的x1,x2∈(0,2)且x1
0;当x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
=f(1)=-1
(2) ∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈
① 若a≥,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数
∴=f(e)=ae+1≥0.不合题意
② 若a<,则由f′(x)>0>0,即00,g(x) 在(0,e)单调递增;
当x>e时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减
∴=g(e)= <1, ∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f(x)|=没有实数解
21．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)在(Ⅱ)的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数b的取值范围.
【答案】.解:函数的定义域为,
(1)当时,, ∴在处的切线方程为
的最小值为
若对于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值(*)
22．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数
(I)当时,讨论在上的单调性;
(II)若的定义域为
(i)求实数的取值范围;
(ii)若关于的不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.
【答案】解:(I)∵, ∴
∴ 由 解得
当时,单调递增;当时,单调递减
(II)(i)∵的定义域为
∴当时,恒成立
即恒成立,,∴
(ii)由,得
即在上恒成立
当时,∵,当时,
而,∴原不等式不可能恒成立
当时,要使在上恒成立
∵
设
∴
又∵当时,
∴当时,,∴在上是减函数,∴
∴在上恒成立,即原不等式恒成立
综上所述:
23．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知函数
(Ⅰ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅱ)设函数,求证:
【答案】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分15分.
解:(Ⅰ)由可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.
由得.
①当时,.
此时在上单调递增. 故,符合题意.
②当时,.
当变化时的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又.
综合①,②得,实数的取值范围是.·········7分
(Ⅱ),
,
,
由此得,
故.·········15分
24．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的时，都有，求实数m的取值
范围。
【答案】 解：（1）
则 ······················2分
；···············5分
（2）
····················8分
则对任意的时，都有,即为：
即恒成立，
设
···············10分
①，，
（1,2）为减函数，且，则，矛盾; ············12分
②若
若，则（1,2）上为减函数，且，则，矛盾；
若，则上为减函数，在上为增函数，
且，矛盾
若，则（1,2）上为增函数，则恒由，
则，解得 ········································15分
25．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数
(1)若是函数的极值点,求的值;
(2)求函数的最大值.
【答案】解:(1)
∵是极值点,∴
代入得,解得
(2)
记,
(ⅰ)
则在上单调递增,上单调递减
(ⅱ)
则在上单调递增,单调递减-
综上,在上单调递增,上单调递减
∴
26．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知函数,
.
(Ⅰ)若,求函数在区间上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.
注:是自然对数的底数,约等于.
【答案】解:(Ⅰ) 若,则.
当时,,
,
所以函数在上单调递增;
当时,,
.
所以函数在区间上单调递减,
所以在区间上有最小值,又因为,
,而,
所以在区间上有最大值
(Ⅱ) 函数的定义域为.
由,得. (*)
(ⅰ)当时,,,
不等式(*)恒成立,所以;
(ⅱ)当时,
①当时,由得,即,
现令, 则,
因为,所以,故在上单调递增,
从而的最小值为,因为恒成立等价于,
所以;
②当时,的最小值为,而,显然不满足题意
综上可得,满足条件的的取值范围是
27．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）线段,BC中点为M,点A与B,C两点的距离之和为6,设,.
(Ⅰ)求的函数表达式及函数的定义域;
(Ⅱ)设,试求d的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当A、B、C三点不共线时,由三角形中线性质知
,代入得,
又,得;
当A,B,C三点共线时,由,可知在线段BC外侧,
由或x=5,因此,当x=1或x=5时,有,
同时也满足:.当A、B、C不共线时,
,可知,
从而定义域为[1,5]
(Ⅱ)∵ . ∴ d=y+x-1=.
令 t=x-3,由知,,,
两边对t求导得:,
∴ 关于t在[-2,2]上单调递增.
∴ 当t=2时,=3,此时x=1. 当t=2时,=7.此时x=5.
故d的取值范围为[3,7]
28．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数(常数)在处取得极大值M.
(Ⅰ)当M=时,求的值;
(Ⅱ)记在上的最小值为N,若,求的取值范围.
【答案】
29．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知函数.
(Ⅰ)当时,求在点处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
∴ ∴
∵
∴在点处的切线方程为:.
(Ⅱ)∵ ∴
令,则
∴在上
∵,当时, ∴存在,使,且在上 ,在上
∵ ∴,即
∵对于任意的,恒有成立
∴ ∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴
令,而,当时,
∴存在,使
∵在上 ,∴
∴
∵在上 ∴
∴ ∴.
30．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）函数的图象记为
(I)过一点作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,
(i)求的值;
(ii)若点在切线上,对任意的,求证:
(II)若对恒成立,求的最大值.
【答案】解:(I)(i)
设切点为,则切线方程为,将点代入得
可化为
设
,的极值点为
作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条
,
(ii)因为点A在曲线E上,所以
当时,左边=
令函数,
当时,函数在上单调递增,
当即时,由得
∴函数在上单调递减,在上单调递增
;
当时,左边=
令函数
,由得
当时,即时,函数在上单调递减,
当时,函数在上单调递减,在上单调递增
令函数
设,在上单调递增
(II)由得对恒成立,显然.
若则
若,则
设函数,由
所以函数在上单调递减,在上单调递增
设
由
∴函数在上单调递增,在上单调递减
∴,即的最大值为,此时
31．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,.
(Ⅰ) 求的取值范围;
(Ⅱ) 若,求的最大值.
注:e是自然对数的底数.
【答案】(Ⅰ)解:函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故
,
并且 .
所以,
故的取值范围是
(Ⅱ)解:当时,.若设,则
.
于是有
构造函数(其中),则.
所以在上单调递减,.
故的最大值是
32．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知函数在处取得极值.且在x=1处的切线斜率为1.
(Ⅰ)求bc的值及的单调减区间;
(Ⅱ)设求证:
【答案】
33．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知函数
(1)当时,求的极值
(2)当时,求的单调区间
(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.
【答案】解:
↘ 极小值 ↗
34．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知函数.
(Ⅰ)当时,试判断的单调性并给予证明;
(Ⅱ)若有两个极值点.
(i) 求实数a的取值范围;
(ii)证明:. (注:是自然对数的底数)
【答案】解:(1)当时,,在R上单调递减
,只要证明恒成立,
设,则,
当时,,
当时,,当时,
,故恒成立
所以在R上单调递减
(2)(i)若有两个极值点,则是方程的两个根,
故方程有两个根,
又显然不是该方程的根,所以方程有两个根,
设,得
若时,且,单调递减
若时,
时,单调递减
时,单调递增
要使方程有两个根,需,故且
故的取值范围为
法二:设,则是方程的两个根,
则,
当时,恒成立,单调递减,方程不可能有两个根
所以,由,得,
当时,,当时,
,得
(ii) 由,得:,故,
,
设,则,上单调递减
故,即
35．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）(本题满分15分)已知函数(b为常数).
(Ⅰ)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;
(Ⅱ)设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数,,都有
成立,求的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)因为,所以,因此,
所以函数的图象在点()处的切线方程为,
由得,
由,得
(Ⅱ)因为,
所以,
由题意知在上有解,
因为,设,因为,
则只要,解得,
所以b的取值范围是
(Ⅲ)不妨设,
因为函数在区间[1,2]上是增函数,所以,
函数图象的对称轴为,且.
(i)当时,函数在区间[1,2]上是减函数,所以,
所以等价于,
即,
等价于在区间[1,2]上是增函数,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
所以,又,所以
(ii)当时,函数在区间[1,b]上是减函数,在上为增函数.
① 当时,
等价于, 等价于在区间[1,b]上是增函数,
等价于在区间[1,b]上恒成立,
等价于在区间[1,b]上恒成立,所以,又,所以
② 当时,
等价于,
等价于在区间[b,2]上是增函数,
等价于在区间[b,2]上恒成立,
等价于在区间[b,2]上恒成立,所以,故,
③ 当时,由图像的对称性知,
只要对于①②同时成立,
对于③, 存在,
使 =恒成立;
或存在,
使=恒成立,
因此当时,对于③ 成立
综上,b的取值范围是
36．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）
已知函数(x>0,实数a为常数)
(Ⅰ)a=4时,求函数在上的最小值;
(Ⅱ)设,求证:不等式:对于任意不相等的,都成立
【答案】(Ⅰ)时,,
,,,
即在上单调递减,在单调递增
在区间上,当有最小值
(Ⅱ)当 =,
在单调递减,不妨设,则当时,
故不等式等价于
令函数,则
=
再令,对称轴,
,从而当时恒成立,
即当时恒成立,所以在为增函数,
所以
从而对于任意的,都有不等式
37．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,函数
(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:;
(Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,,
(1)当时,,所以在上递减,所以,因为;
(2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为
;
(3)当,即时,
,且,即
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以,且
所以,
所以;
由,所以
(ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为
,又因为,所以,所以,所以
(ⅱ)当时,,所以,因为
,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以
① 当时,,所以,所以此时;
② 当时,,所以,所以此时
综上所述:.
38．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,
(Ⅰ) 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 求的取值范围;
(Ⅲ)若,求的最大值.
(注:e是自然对数的底数.)
【答案】解:(Ⅰ)函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故
,
并且 .
(Ⅱ)
故的取值范围是
(Ⅲ )解:当时,.若设,则
.
于是有
构造函数(其中),则.
所以在上单调递减,. 故的最大值是.
39．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知函数 ,它的一个极值点是
(Ⅰ)求m的值及在上的值域;
(Ⅱ)设函数 ,求证:函数与的图象在上没有公共点.
【答案】解(Ⅰ):令,由题设,满足方程,由此解得:或.
(1)当时,分析可知:在上是减函数;在上是增函数;
由此可求得,故 当时,的值域为.
(2)当时,同样可得:在上是减函数;在上是增函数,当时,的值域为.
解(Ⅱ) , 所以,因为,所以,所以 (1),设,则,当时,
即为增函数,故当有,即,
所以(2),由(1)(2)得,当时,.
所以在上为增函数,又因为在x=0处与图象相连,故对于有,即;
由(Ⅰ)知:(1)当时: 在上的值域为 ,而;所以,故函数与的图象在上没有公共点.
(2)当时, 在上的值域为 ,由于所以,所以,故函数与的图象在上也没有公共点.
综上所述,函数与的图象在上没有公共点.
40．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知函数,(),
(Ⅰ)若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;
(Ⅱ)若,且当时,恒有,求的最大值.
(参考数据:,,)
【答案】(Ⅰ)由已知得 ,且,从而得.
函数在点处的切线方程为,即;
于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点,
从而,可得,,又,
因此有 ① ,②.
由①②,可得,所以,解得或
(Ⅱ)当时,恒成立,
等价于,当时,恒成立.
设(),则,
且可得 ();记(),
则 ,所以在上单调递增.
又,,所以,
在存在唯一的实数根,使得③;
因此,当时,,即得,则在上递减,
当时,,即得,则在上递增;
所以,当时,
又由③,可得,
因此,得,
而 ,所以,,又,
而,
所以,因此,
又,所以
41．（浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学理）已知函数
(I )求f(x)的单调区间;
(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)= ()
令,
① 时,,所以增区间是;
② 时,,所以增区间是与,减区间是
③时,,所以增区间是与,减区间是
④ 时,,所以增区间是,减区间是
(Ⅰ)因为,所以,由(1)知在上为减函数
若,则原不等式恒成立,∴
若,不妨设,则,,
所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立
令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数
所以对任意的,恒成立
42．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）(本题满分I4分)设函数为实数).
(I)设a≠0,当a+b=0时.求过点P(一1,0)且与曲线相切的直线方程;
(Ⅱ)设b>0,当a≤0且时,有,求b的最大值.
【答案】
(Ⅰ) ∵,,∴,则,
∴ ,设切点T(),则,
即:切线方程为,又∵切线过点P(),
∴ ,解得:或.
当时,,切线方程为,
当时,,切线方程为
(Ⅱ) ① 当,时,在[0,1]上递增,∴ .
② 当,时,令,得,
在[0,]上递增,
( i ) 若时,在[0,1]上递增,∵,
∴ ,即:,由线性规划知:.
( ii ) 若时,在[0,]上递增,在[,1]上递减,又, 由题意得:
,
由得,,
即:,得.
又,∴ ,
∴ ,得.
当时,,满足.
综上所述:的最大值为
43．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）函数定义在区间[a, b]上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，
，
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数
为区间上的“第k类压缩函数”．
(1) 若函数，求的最大值，写出的解析式；
(2) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．
【答案】解：(1)由于，故在上单调递减，在上单调递增．
所以，的最大值为． ， ，
(2)由于，故在上单调递减，在上单调递增，
而，，故，，
．
设对正整数k有对恒成立，
当x=0时，均成立；
当时，恒成立，
而, 故；
当时，恒成立，而；
故；所以，，ks**5u
又是上的“第3类压缩函数”，故，
所以，．
44．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是正实数,设函数.
(Ⅰ)设,求的单调区间;
(Ⅱ)若存在,使且成立,求的取值范围.
【答案】
(iii)当,即时,
单调递减.
当时恒成立
综上所述,
∴的最大值在处,为7
∴的取值范围为,即的取值范围是
45．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知函数.
(1)若函数在其定义域内是单调增函数,求的取值范围;
(2)设函数的图象被点分成的两部分为(点除外),该函数图象在点处的切线为,且分别完全位于直线的两侧,试求所有满足条件的的值.
【答案】解:(Ⅰ),只需要,即
,
所以
.
(Ⅱ)因为,所以切线的方程为
.
令,则
.
.
(ⅰ)若,则,
当时,;当时,,所以,
在直线同侧,不合题意;
(ⅱ)若,则,
①若,,是单调增函数,
当时,;当时,,符合题意;
②若,当时,,,
当时,,,不合题意;
③若,当时,,,
当时,,,不合题意;
46．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）设函数
(1)若与在为同一个值时都取得极值,求的值.
(2)对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,恒有
求①的表达式;②的最大值及相应的值.
【答案】解:⑴ 易知,在时取得极值.
,
由题意得 ,解得
⑵ ① 由,,知.
当 ,即时,要使,在上恒成立,而要最大的,所以只能是方程的较小根.
因此,.
当,即时,同样道理只能是方程的较大根,.
综上得
② 当时,;
当时,.
故当且仅当时,有最大值
47．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.
【答案】本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分14分.
(Ⅰ) 由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,
故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
又
f (0)=1, f (a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2) 2-1.
当f (a)≥-1时,取p=a.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a).
当0a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以
g(a)=.
又g(a)在(0,1]上单调递增,故
g(a)max=g(1)=.
当a>1时,f (a)<-1.
由于f (0)=1,f (1)=(1-a)-1<-1,故
[0,p]Ì [0,1].
此时,g(a)≤1.
综上所述,g(a)的最大值为.
