高考数学复习专题练习第7讲 解三角形的实际应用举例

高考数学复习专题练习第7讲 解三角形的实际应用举例

第7讲 解三角形的实际应用举例 一、选择题 ‎1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为 (　　)．‎ A．1 B．2sin 10°‎ C．2cos 10° D．cos 20°‎ 解析　如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.‎ 在△ABD中，由正弦定理得 ＝，‎ ‎∴AD＝AB·＝＝2cos 10°.‎ 答案　C ‎2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走‎3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 (　　)．‎ A. B．‎2‎ C.或2 D．3‎ 解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.‎ 答案　C ‎3．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝‎200 km，汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析 如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，‎ BE＝50x，‎ ‎∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos 60°，‎ 整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)，‎ ‎∴当x＝时y2最小，即y最小．‎ 答案 C ‎4. 如图，两座相距‎60 m的建筑物AB、CD的高度分别为‎20 m、‎50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)．‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 解析　依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B ‎5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为‎60 m，则树的高度为(　　)‎ A．(30＋30)m B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m 解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝‎60 m，‎ sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°‎ ‎＝×－×＝，‎ 由正弦定理得：＝，‎ ‎∴PB＝＝30(＋)，‎ ‎∴树的高度为PBsin 45°＝30(＋)× ‎＝(30＋30)m.‎ 答案 A ‎6. 如图，在湖面上高为‎10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到‎0.1 m) (　　)．‎ A．‎2.7 m B．‎‎17.3 m C．‎37.3 m D．‎‎373 m 解析　在△ACE中，‎ tan 30°＝＝.∴AE＝(m)．‎ 在△AED中，tan 45°＝＝，‎ ‎∴AE＝(m)，∴＝，‎ ‎∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．在相距‎2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．‎ 解析　由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)．‎ 答案　 ‎8. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.‎ 解析　设航速为v n mile/h，‎ 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，‎ ‎∠BSA＝45°，‎ 由正弦定理得：＝，∴v＝32 n mile/h.‎ 答案　32‎ ‎9．某人站在‎60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为________米．‎ 解析：如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h，因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60，则AE＝＝＝120＋60，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan 30°＝(120＋60)×＝60＋40，所以塔高为60＋40＋60＝(120＋40)米．‎ 答案：120＋40 ‎10. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．‎ 解析　由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．‎ 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β)‎ 三、解答题 ‎11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 解　如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)．‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 易知θ＝∠ACB＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°‎ ‎＝.‎ ‎12．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝‎1百米．‎ ‎(1)求△CDE的面积；‎ ‎(2)求A，B之间的距离．‎ 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝ DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．‎ ‎(2)连接AB，依题意知，在Rt△ACD中，‎ AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝(百米)，‎ 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，‎ 由正弦定理＝，得 BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝(百米)．‎ ‎∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°‎ ‎＝×＋×＝，‎ 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠ACB，‎ 可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，‎ ‎∴AB＝百米．‎ ‎13．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝ ‎＝＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10(海里)，‎ 此时v＝＝30(海里/时)．‎ 即小艇以‎30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，‎ ‎∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.‎ 又t＝时，v＝‎30海里/时．‎ 故v＝‎30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.‎ 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝‎20海里，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东30°，航行速度为‎30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.‎ ‎14．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平 面内沿南偏西60°的方向以每小时‎6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.‎ ‎(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；‎ ‎(2)求塔的高AB 解 (1)依题意知：在△DBC中，∠BCD＝30°，‎ ‎∠DBC＝180°－45°＝135°，‎ CD＝6 000×＝100(m)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴BC＝＝ ‎＝＝＝50(－1)(m)．‎ 在Rt△ABE中，tan α＝.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎∵AB为定长，‎ ‎∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt ‎△BEC中，‎ EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，‎ 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，‎ 则t＝×60＝×60＝(分钟)．‎ ‎(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，‎ 在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCE，‎ ‎∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCE·tan 60°＝50(－1)··＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－)m.‎