2019届二轮复习 坐标系与参数方程学案(全国通用)

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文档介绍

2019届二轮复习 坐标系与参数方程学案(全国通用)

第1讲 坐标系与参数方程 ‎[考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识.‎ 热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,‎ 设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),‎ 则 例1 (2018·佛山模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1上一点A的极坐标为,曲线C2的极坐标方程为ρ=cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程;‎ ‎(2)设点M,N在C1上,点P在C2上(异于极点),若O,M,P,N四点依次在同一条直线l上,且|MP|,|OP|,|PN|成等比数列,求 l的极坐标方程.‎ 解 (1)曲线C1的直角坐标方程为(x-a)2+y2=3,‎ 化简得x2+y2-2ax+a2-3=0.‎ 又x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,‎ 所以ρ2-2aρcos θ+a2-3=0.‎ 代入点,得a2-a-2=0,‎ 解得a=2或a=-1(舍去).‎ 所以曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+1=0.‎ ‎(2)由题意知,设直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),‎ 设点M,N,P,‎ 则ρ1<ρ3<ρ2.‎ 联立得ρ2-4ρcos α+1=0,‎ 所以ρ1+ρ2=4cos α,ρ1ρ2=1.‎ 联立得ρ3=cos α.‎ 因为|MP|,|OP|,|PN|成等比数列,‎ 所以ρ=(ρ3-ρ1)(ρ2-ρ3),即2ρ=(ρ1+ρ2)ρ3-ρ1ρ2.‎ 所以2cos2α=4cos2α-1,解得cos α=(舍负).‎ 经检验,满足O,M,P,N四点依次在同一条直线上,‎ 所以l的极坐标方程为θ=±(ρ∈R).‎ 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.‎ ‎(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.‎ 跟踪演练1 (2018·乌鲁木齐模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin θ-ρcos2θ=0.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.‎ 解 (1)∵sin θ-ρcos2θ=0,‎ ‎∴ρsin θ-ρ2cos2θ=0,‎ 即y-x2=0.‎ 即曲线C的直角坐标方程为y=x2.‎ ‎(2)将代入y-x2=0,‎ 得+t-2=0,即t=0,‎ 从而交点坐标为(1,),‎ 所以交点的一个极坐标为.‎ 热点二 参数方程与普通方程的互化 ‎1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎2.圆的参数方程 圆心为点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎3.圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ 例2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.‎ 当α=时,l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点当且仅当<1,解得k<-‎ ‎1或k>1,即α∈或α∈.‎ 综上,α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 .‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,‎ 则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.‎ 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.‎ 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是.‎ 思维升华 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等.‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x,y有范围限制,要标出x,y的取值范围.‎ 跟踪演练2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点M的极坐标是.‎ ‎(1)求直线l的普通方程;‎ ‎(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标.‎ 解 (1)直线l的普通方程为3x-y-6=0.‎ ‎(2)点M的直角坐标是(-1,-),‎ 过点M作直线l的垂线,垂足为M′,则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点.‎ 直线MM′的方程是y+=-(x+1),‎ 即y=-x--.‎ 由解得 所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是.‎ 热点三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.‎ 例3 (2018·泉州质检)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线m:θ=β(ρ>0).‎ ‎(1)求C和l的极坐标方程;‎ ‎(2)设点A是m与C的一个交点(异于原点),点B是m与l的交点,求的最大值.‎ 解 (1)曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1,‎ 由得2+ρ2sin2θ=1,‎ 化简得C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ 因为l的普通方程为x+y-4=0,‎ 所以极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0,‎ 所以l的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(2)设A(ρ1,β),B(ρ2,β),‎ 则==2cos β· ‎=(sin βcos β+cos2β)=sin+,‎ 由射线m与C,直线l相交,则不妨设β∈,‎ 则2β+∈,‎ 所以当2β+=,即β=时,取得最大值,‎ 即max=.‎ 思维升华 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.‎ ‎(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.‎ 跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中,以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)若曲线C2的参数方程为(α为参数),求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数),A(0,1),且曲线C1与曲线C2的交点分别为P,Q,求+的取值范围.‎ 解 (1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,‎ 又∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,‎ 曲线C2的普通方程为x2+(y-1)2=t2.‎ ‎(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2+y2-2x=0,得t2+(2sin α-2cos α)t+1=0.‎ ‎∵Δ=(2sin α-2cos α)2-4=8sin2-4>0,‎ ‎∴∈,‎ ‎∴sin∈∪.‎ t1+t2=-(2sin α-2cos α)=-2sin,‎ t1t2=1>0,‎ ‎∵t1t2=1>0,∴t1,t2同号,∴|t1|+|t2|=|t1+t2|.‎ 由点A在曲线C2上,根据t的几何意义,可得 +=+= ‎== ‎=2∈(2,2].‎ ‎∴+∈(2,2].‎ 真题体验 ‎1.(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右侧的射线为l1,y轴左侧的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外部,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点,满足题意.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题设知,‎ ‎|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α.‎ 于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α ‎=4cos α ‎=|sin 2α-cos 2α-|‎ ‎=2≤2+.‎ 当2α-=-,即α=-时,S取得最大值2+,‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 押题预测 ‎1.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.‎ 押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点.本题考查了等价转换思想,代数式变形能力,逻辑推理能力,是一道颇具代表性的题.‎ 解 (1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.‎ 因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,所以x2+y2=4x,‎ 即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4,‎ 得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,‎ 化简得t2-2tcos α-3=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 由根与系数的关系,得 所以|AB|=|t1-t2|= ‎==,‎ 故4cos2α=1,解得cos α=±.‎ 因为直线的倾斜角α∈[0,π),所以α=或.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数),其中a>b>0.以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2cos θ,射线l:θ=α(ρ≥0).若射线l与曲线C1交于点P,当α=0时,射线l与曲线C2交于点Q,|PQ|=1;当α=时,射线l与曲线C2交于点O,|OP|=.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程;‎ ‎(2)设直线l′:(t为参数,t≠0)与曲线C2交于点R,若α=,求△OPR的面积.‎ 押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇,考查相应知识的理解和运用,解题中,需要将已知条件合理转化,灵活变形,符合高考命题趋势.‎ 解 (1)因为曲线C1的参数方程为(φ为参数),且a>b>0,所以曲线C1的普通方程为+=1,而其极坐标方程为+=1.‎ 将θ=0(ρ≥0)代入+=1,‎ 得ρ=a,即点P的极坐标为;‎ 将θ=0(ρ≥0)代入ρ=2cos θ,得ρ=2,‎ 即点Q的极坐标为(2,0).‎ 因为|PQ|=1,所以|PQ|=|a-2|=1,‎ 所以a=1或a=3.‎ 将θ=(ρ≥0)代入+=1,‎ 得ρ=b,即点P的极坐标为,‎ 因为|OP|=,所以b=.又因为a>b>0,所以a=3,‎ 所以曲线C1的普通方程为+=1.‎ ‎(2)因为直线l′的参数方程为(t为参数,t≠0),‎ 所以直线l′的普通方程为y=-x(x≠0),‎ 而其极坐标方程为θ=-(ρ∈R,ρ≠0),‎ 所以将直线l′的方程θ=-代入曲线C2的方程ρ=2cos θ,得ρ=1,即|OR|=1.‎ 因为将射线l的方程θ=(ρ≥0)代入曲线C1的方程+=1,‎ 得ρ=,即|OP|=,‎ 所以S△OPR=|OP||OR|sin∠POR ‎=××1×sin =.‎ A组 专题通关 ‎1.(2018·百校联盟TOP20联考)已知平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l1:x=0,直线l2:x-y=0,以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线C和直线l1,l2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l1与曲线C交于O,A两点,直线l2与曲线C交于O,B两点,求|AB|.‎ 解 (1)依题意知,曲线C:(x-1)2+2=5,即x2-2x+y2-4y=0,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ=2cos θ+4sin θ.‎ 因为直线l1:x=0,直线l2:x-y=0,‎ 故直线l1,l2的极坐标方程为l1:θ=(ρ∈R),‎ l2:θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)设A,B两点对应的极径分别为ρ1,ρ2,‎ 在ρ=2cos θ+4sin θ中,‎ 令θ=,得ρ1=2cos+4sin=4,‎ 令θ=,得ρ2=2cos+4sin=3,‎ 因为-=,‎ 所以|AB|==.‎ ‎2.(2018·衡水金卷模拟)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程是ρsin=1,圆C的参数方程为(φ为参数,r>0).‎ ‎(1)若直线l与圆C有公共点,求实数r的取值范围;‎ ‎(2)当r=2时,过点D(2,0)且与直线l平行的直线l′交圆C于A,B两点,求的值.‎ 解 (1)由ρsin=1,‎ 得ρ=1,‎ 即y-x=1,‎ 故直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ 由得 所以圆C的普通方程为(x-1)2+y2=r2.‎ 若直线l与圆C有公共点,则圆心(1,0)到直线l的距离d=≤r,即r≥,‎ 故实数r的取值范围为.‎ ‎(2)因为直线l′的倾斜角为,且过点D(2,0),‎ 所以直线l′的参数方程为(t为参数),①‎ 圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=4,②‎ 联立①②,得t2+t-3=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-1,t1t2=-3<0,‎ 故===.‎ ‎3.(2018·安徽省“皖南八校”联考)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρ(sin θ+cos θ)=.‎ ‎(1)求C的极坐标方程;‎ ‎(2)射线OM:θ=θ1与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求|OP|·|OQ|的取值范围.‎ 解 (1)圆C的普通方程是(x-2)2+y2=4,‎ 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ1,θ1),则有ρ1=4cos θ1,‎ 设Q(ρ2,θ1),且直线l的极坐标方程是 ρ(sin θ+cos θ)=,‎ 则有ρ2=,‎ 所以|OP||OQ|=ρ1ρ2= ‎=,‎ 所以2≤|OP||OQ|≤3.‎ 即|OP||OQ|的取值范围是[2,3].‎ ‎4.(2018·潍坊模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),点M为曲线C1上的动点,动点P满足=a(a>0且a≠1),点P的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C2的方程,并说明C2是什么曲线;‎ ‎(2)在以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A点的极坐标为,射线θ=α与C2的异于极点的交点为B,已知△AOB面积的最大值为4+2,求a的值.‎ 解 (1)设P(x,y),M,‎ 由=a,得∴ ‎∵点M在C1上,‎ ‎∴即(θ为参数),‎ 消去参数θ,得2+y2=4a2(a>0且a≠1).‎ ‎∴曲线C2是以为圆心,以2a为半径的圆.‎ ‎(2)方法一 A点的直角坐标为(1,),‎ ‎∴直线OA的普通方程为y=x,即x-y=0.‎ 设B点坐标为(2a+2acos α,2asin α),则B点到直线x-y=0的距离d= ‎=a.‎ ‎∴当α=-时,dmax=(+2)a.‎ ‎∴S△AOB的最大值为×2×(+2)a=4+2,∴a=2.‎ 方法二 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入2+y2=4a2,并整理得ρ=4acos θ,令θ=α,得ρ=4acos α.‎ ‎∴B.‎ ‎∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB ‎=4acos α=a|2sin αcos α-2cos2α|‎ ‎=a|sin 2α-cos 2α-|=a,‎ ‎∴当α=-时,S△AOB取得最大值(2+)a,‎ 依题意知(2+)a=4+2,∴a=2.‎ ‎5.(2018·河南省南阳市第一中学考试)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为(φ为参数),l1,l2为过点O的两条直线,l1交M于A,B两点,l2交M于C,D两点,且l1的倾斜角为α,∠AOC=.‎ ‎(1)求l1和M的极坐标方程;‎ ‎(2)当α=时,求点O到A,B,C,D四点的距离之和的最大值.‎ 解 (1)依题意知,直线l1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),‎ 由消去φ,‎ 得(x-1)2+(y-1)2=1,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,‎ 得ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ+1=0,‎ 故M的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ+1=0.‎ ‎(2)依题意可设A(ρ1,α),B(ρ2,α),C,‎ D,且ρ1,ρ2,ρ3,ρ4均为正数,‎ 将θ=α代入ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ+1=0,‎ 得ρ2-2(cos α+sin α)ρ+1=0,‎ 所以ρ1+ρ2=2(cos α+sin α),‎ 同理可得,ρ3+ρ4=2,‎ 所以点O到A,B,C,D四点的距离之和为ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=2(cos α+sin α)+2 ‎=(1+)sin α+(3+)cos α=2(1+)sin,‎ 因为α∈,所以α+∈,‎ 所以当sin=sin=1,即α=时,‎ ρ1+ρ2+ρ3+ρ4取得最大值2+2,‎ 所以点O到A,B,C,D四点距离之和的最大值为2+2.‎ B组 能力提高 ‎6.在直角坐标系xOy中,已知曲线E经过点P,其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线E的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l交E于点A,B,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值.‎ 解 (1)将点P代入曲线E的方程,‎ 得 解得a2=3,‎ 所以曲线E的普通方程为+=1,‎ 极坐标方程为ρ2=1.‎ ‎(2)不妨设点A,B的极坐标分别为 A(ρ1,θ),B,ρ1>0,ρ2>0,‎ 则 即 所以+=,即+=,‎ 所以+为定值.‎ ‎7.已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ为参数).‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值.‎ 解 (1)点P的直角坐标为,‎ 由ρ=2cos,‎ 得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,①‎ 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y代入①,‎ 可得曲线C的直角坐标方程为 2+2=1.‎ ‎(2)直线2ρcos θ+4ρsin θ=的直角坐标方程为2x+4y-=0,‎ 设点Q的直角坐标为,‎ 则M,‎ ‎∴点M到直线l的距离 d= ‎= ‎=,其中tan φ=.‎ ‎∴d≥=(当且仅当sin(θ+φ)=-1时取等号),‎ ‎∴点M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值为.‎ ‎8.已知α∈[0,π),在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数);在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l2的极坐标方程为ρcos(θ-α)=2sin(θ为参数).‎ ‎(1)求证:l1⊥l2;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,P为直线l1,l2的交点,求|OP||AP|的最大值.‎ ‎(1)证明 易知直线l1的普通方程为xsin α-ycos α=0.‎ 又ρcos(θ-α)=2sin可变形为 ρcos θcos α+ρsin θsin α=2sin,‎ 即直线l2的直角坐标方程为 xcos α+ysin α-2sin=0.‎ 因为sin αcos α+(-cos α)sin α=0,‎ 根据两直线垂直的条件可知,l1⊥l2.‎ ‎(2)解 当ρ=2,θ=时,‎ ρcos(θ-α)=2cos=2sin,‎ 所以点A在直线ρcos(θ-α)=2sin上.‎ 设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为=1.‎ 于是|OP||AP|=d·|OA|=2d≤2,‎ 所以|OP||AP|的最大值为2.‎
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