专题6-2 等差数列与等比数列-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

专题6-2 等差数列与等比数列-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考新课标2文数】等差数列{}中，.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如0.9]=0,2.6]=2.‎ ‎2．【2016高考北京文数】已知是等差数列，是等差数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【解析】（I）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以 ‎（，，，）．‎ ‎（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和 ‎．‎ ‎3．【2016高考山东文数】已知数列的前n项和，是等差数列，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式； ‎ ‎（II）令.求数列的前n项和. ‎ ‎4．【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵公差，，∴，解得=，∴‎ ‎，故选B.‎ ‎5.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】若这组数有个，则，，又，所以；若这组数有个，则，，又，所以；故答案为5‎ ‎6.【2015高考福建，文17】等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值．‎ ‎7.【2015高考天津，文18】已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.‎ ‎（I）求和的通项公式;‎ ‎（II）设,求数列的前n项和.‎ ‎8.【2015高考广东，文19】设数列的前项和为，．已知，，，且当 时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为等比数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ ‎【解析】（1）当时，，即，解得：‎ ‎（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列 ‎（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是 ‎9.【2014高考江西卷文第13题】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：，所以，即 ‎10.【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎11．【2014高考福建卷文第17题】在等比数列中，.‎ （1） 求；‎ （2） 设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】 (1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.‎ ‎（2）因为，所以数列的前n项和.‎ ‎12. 【2014高考重庆文第16题】已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.‎ ‎（I）求及；‎ ‎（II）设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 对等差数列和等比数列的考查，主要以等差数列和等比数列为素材，围绕着等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式的运用设计试题，而等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 ‎ ,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．在解答题中，有的考查等差数列、等比数列通项公式和求和知识，属于中档题，有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．等差数列和等比数列的判定，可能会在解答题中的第一问，或者渗透在解题过程中.等差数列、等比数列的通项公式，以小题形式或者在解答题中考查，是解决等差数列和等比数列的瓶颈，要熟练掌握.等差数列和等比数列性质的运用，主要以选择或者填空的形式考查，难度较低．对等差数列、等比数列前n项和的考查，直接考查或者通过转化为等差数列、等比数列后的考查．在2017年对数列的复习，除了加强“三基”训练，同时要紧密注意与函数、不等式、解析几何结合的解答题．‎ 故预测2017年高考可能以等差数列与等比数列的基本性质为主要考查点，重点考查学生基本运算能力以及转化与化归能力，试题难度中等.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对等差数列和等比数列的考查有四种主要形式：一是考察等差数列和等比数列的判定，主要以定义为主；二是考察通项公式，直接求或者转化为等差数列和等比数列后再求；三是对等差数列和等比数列的性质的考查；第四是求和．‎ ‎【考点1】等差数列和等比数列的判定 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．等差数列的判定：‎ ‎①（为常数）；②；③（为常数）；④（为常数）．其中用来证明方法的有①②．‎ ‎2.等比数列的判定：①（）；②（）；③；‎ ‎④其中用来证明方法的有①②．‎ ‎【规律方法技巧】‎ 判断等差数列和等差数列的判断方法：‎ 判断等差数列和等比数列，可以先计算特殊的几项，观察其特征，归纳出等差数列或者等比数列的结论，证明应该首先考虑其通项公式，利用定义或者等差中项、等比中项来证明，利用通项公式和前n项和只是作为判断方法，而不是证明方法，把对数列特征的判定渗透在解题过程中，可以帮助拓展思维和理思路．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年安徽淮北高三考前质量检测】如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2. 【2016届石家庄市高三二模】设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以有，即为首项等于公差为的等差数列所以，则 ‎，因为当且仅当时取等号，因为为自然数，所以根据函数的单调性可从与相邻的两个整数中求最大值，，，所以最大值为，此时，故本题正确选项为D.‎ ‎【考点2】等差数列和等比数列的通项公式与前n项和 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．等差数列的通项公式： ，‎ ‎2．等比数列的通项公式：，‎ ‎3．等差数列前n项和公式：Sn= Sn=‎ ‎4.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；‎ 当q≠1时，Sn= Sn=‎ ‎5.当公差时，等差数列递增；当时，等差数列递减；当时，等差数列为常数列 ‎6. 对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.‎ 当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；‎ 当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.‎ 当q=1时，是一个常数列.‎ 当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 1． 等差数列和等比数列通项公式有两个，一个表示的是项与首项关系和；另一个表示的是数列任意两项的关系和，有时候选择后组，可以很快求出答案．‎ 2． 满足或者的数列为等差数列；满足或者 的数列为等比数列．‎ 1． 等差（或等比）数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素（或）、、、，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年河南郑州高三第二次联考】设数列满足，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴，故选D．‎ ‎2. 【2016届淮南市高三.二模】 已知数列满足：，且，则前10项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点3】等差数列和等比数列的性质 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 ‎2等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 ‎3等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、……仍为等差数列 ‎4等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）‎ ‎5两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 ‎6两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列 ‎7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 ‎8等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 ‎9．等差中项公式：A= （有唯一的值）‎ ‎10. 等比中项公式：G= （ab>0，有两个值）‎ ‎【规律方法技巧】‎ 1. 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的．‎ 2. 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．‎ 3. ‎“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列中，，则（ ）‎ A．18 B．24 C．32 D．34‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，因为，所以或；若，则；若，则，故选D．‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．等差、等比数列的判定与证明方法：‎ ‎(1)定义法：(为常数)⇔ 是等差数列； (为非零常数)⇔ 是等比数列；‎ ‎(2)利用中项法： ()⇔是等差数列； ()⇔是等比数列(注意等比数列的，)；‎ ‎(3)通项公式法：(为常数)⇔ 是等差数列；(为非零常数)⇔ 是等比数列；‎ ‎(4)前项和公式法： (为常数)⇔ 是等差数列；(为常数，)⇔ 是等比数列；‎ ‎(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．‎ ‎2．等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含(或)，与这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中 (或)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．‎ 易错提示]　等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．‎ ‎3.等差数列前项和的最值问题 对于等差数列前项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：，时，有最大值；，时，有最小值.常用下面两个方法去解决：‎ ‎(1)若已知，可用二次函数最值的求法（）；‎ ‎(2)若已知，则最值时的值（）可如下确定或.‎ ‎4.利用等比数列求和公式注意的问题 在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比分两种情况进行讨论. ‎ ‎1. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2. 【2016年九江市三模】设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,得，∴．‎ ‎3. 【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】设为等差数列，公差d=2，为其前n 项和，若，则( )‎ A．18 B．20 C．22 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得,即.由于,所以.故B正确.‎ ‎4. 【2016河南省八市重点高中质检】5个数依次组成等比数列，且公比为-2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ）‎ A． B．-2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可设这5个数分别为故奇数项和与偶数项和的比值为.故选C ‎5. 【2016河北省石家庄市高三二模】设为等差数列的前项和，若，公差，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6. 【2016年安庆市高三二模】数列满足：（,且）,若数列是等比数列,则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,得.由于数列是等比数列,所以,‎ 得.故选D.‎ ‎7. 【2016年河南六校高三联考】已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由题意得，，又∵是等差数列，且公差相同，∴，∴，∴故选A．‎ ‎8. 【河南商丘市高2016年高三三模】在等差数列中，首项，公差，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,所以．‎ ‎9．【2016年江西九江市高三三模】已知数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知等差数列的前项和为，公差为，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设（），求数列的前项和．‎ ‎ 11. 【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选D.‎ ‎12.【2015届北京市西城区高三二模】数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于（ ）‎ A． B．21 C．42 D．84‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】∵等差数列，∴，∴，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎13.【2015届福建省泉州五中高三模拟】已知数列为递增等比数列，其前项和为．若 ‎，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于数列是递增的等比数列，，，代入得，整理得，数列是递增的等比数列，，故答案为C．‎ ‎14.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为( )‎ A.1006 B.1007 C.1008 D.1009‎ ‎【答案】C ‎15.【2015届山东省实验中学高三6月份模拟】数列的前n项和记为 ，等差数列的各项为正，其前n项和为，且，又 成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求 ，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：当n 2时，‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，两式相减得，所以 ，所以 ，又所以，从而 ，而 ‎，不符合上式，所以 ，因为为等差数列，且前三项的和，所以，可设，由于，于是，因为成等比数列，所以，或（舍），所以 ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，当时 ‎ .‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1.已知在等差数列中，前项的和为，，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【入选理由】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.‎ ‎2.在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【入选理由】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.‎ ‎3. 设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C．7 D．14‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】根据等差数列的性质，，化简得，∴，故选C.‎ ‎【入选理由】本题考查等差数列的通项公式及其前项和，，等差数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.‎ ‎4.已知等比数列的前项和为，满足，且，则 的值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，两式相减得， 因此公比满足，即.因为，所以当时，‎ ‎，与矛盾，舍去；当时，‎ ‎，满足题意，因此 ‎【入选理由】本题考查等比数列的通项公式及其前项和，，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.‎ ‎5. 已知数列{}中，，，则数列{}的前20项和为 .‎ ‎【答案】1123‎ ‎【解析】由题知数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{}的前20项和为=1123. ‎ ‎【入选理由】本题主要考查等比数列、等差数列的定义与前n项和公式及分组求和等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.‎ ‎6.已知数列{}的前n项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若=，求数列{}的前n项和.‎ ‎【入选理由】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、裂项相消法求和等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力，以及转化与化归思想．本题考查知识基础，难度适中，故选此题.‎ ‎7.已知数列是等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，数列的前项和为，对于整数m，恒有成立，求m的最小值.‎ ‎【入选理由】本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用数列是等差数列， 求出公差和首项，再求出数列的通项公式，从而得出的通项公式；第二问，将第一问的结论代入中， 利用裂项相消法求和，求出，本题考查知识基础，难度适中，故选此题.‎ ‎8.已知数列的前项和为，数列为公比大于1的等比数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式;‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）对于数列：当时，; 当时，‎ ‎，当时也满足此式. 所以. 对于数列：设其公比为，由已知条件得：解得或 ‎ 又因为数列的公比大于1，所以，从而得 . ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 当为偶数时：‎ ‎ ① ‎ ‎ ②‎ ① ‎-②得： = , 所以 ‎ ‎【入选理由】本题主要考查由已知求、等比数列的基本运算与性质以及错位相减法求和等，考查基本的运算能力以及转化与化归思想、函数与方程思想等.本题求和时需分类讨论，从而求和，有一定的新意，故选此题.‎