数学文卷·2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测（2018

数学文卷·2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测（2018

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 ‎3.若一组数据的方差为1，则的方差为（ ）‎ A．1 B．2 C. 4 D．8‎ ‎4．设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C. 4 D．5‎ ‎5．已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A．2 B．4 C. D．6‎ ‎6．如图，四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）‎ ‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？ ”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，则输出的最大值为（ ）‎ ‎ A． B． C. 2 D． ‎ ‎10.设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则的值为（ ）‎ A．4 B． C. 1 D．2‎ ‎12.已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，若，则 ．‎ ‎14．已知双曲线，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为 ．‎ ‎16.在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列是等差数列，其前项和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.如图，在三棱台中，，且面，，分别为的中点，为上两动点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎19.某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：‎ ‎（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？ ‎ 附：，.‎ ‎（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.‎ ‎20.在直角坐标系中，己知点，两动点，且，直线与直线的交点为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点作直线交动点的轨迹于两点，试求的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，恒成立.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，求的大小.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）若且的最小值为1，求的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCAB 6-10: DBBDC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）设数列的首项为，公差为，则：‎ ‎，解得，所以数列的通项公式：‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ ‎①当时，，有：‎ ‎，‎ ‎②当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述：‎ ‎18.证明：（1）取的中点,连接,∵,为的中点,‎ ‎∴,又,∴,‎ ‎∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,‎ 同理，四边形为平行四边形，∴.∴四边为平行四边形,‎ ‎∵面,∴面,‎ ‎∴,又,∴面,‎ ‎∵面,∴.‎ ‎（2）∵面,面,∴面面 ,‎ ‎∵面面,∵,∴,∴面,‎ ‎∴为点到面的距离，即,‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎19.解：（1）根据所给数据可得如下列联表 由表中数据可得：.‎ ‎∴有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .‎ ‎（2）由题意，抽取6人，岁有2人，分别记为；岁有4人，分别记为；则抽取的结果共有15种：‎ ‎,‎ 设“至少有1人年龄在岁”记为事件，则事件包含的基本事件有14种 ‎∴‎ 即至少有1人年龄在岁的概率.‎ ‎20.解：（1）直线的方程： ‎ 直线的方程： ‎ 上述两式相乘得：，又，于是：‎ 由得，∴‎ 所以动点的轨迹方程：.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，有：，‎ 得；‎ 当直线的斜率存在时，设方程：‎ 联立：，整理得：‎ 有，‎ 由 ‎；‎ 由，可得：，‎ 综上所得：的取值范围：‎ ‎21.解：（1）由题意知，‎ 令，则，‎ 当时，在上单调递减， ‎ 当时，在上单调递增，‎ 又，∵在定义域内无极值点，‎ ‎∴ ‎ 又当时，在和上都单调递增也满足题意，‎ 所以 ‎ ‎（2），令，由（1）可知在上单调递増，又 ‎，所以存在唯一的零点，故在上单调递减，在上单调递増，‎ ‎∴‎ 由知 即当时，恒成立.‎ ‎22.解：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为：，‎ 代入圆方程消去可得 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(也可以用几何方法求解）‎ ‎(法二）将直线的参数方程代入圆的方程可得：‎ 整理得：‎ ‎∴‎ 根据参数方程的几何意义，由题可得：‎ ‎.‎ ‎23.解：（1）(当时，等号成立）‎ ‎∵的最小值为 1，∴，∴ 或，又，∴.‎ ‎（2）由得，，∵，‎ ‎∴，即 且且.‎