数学文卷·2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测(2018

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数学文卷·2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测(2018

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题 文科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.若一组数据的方差为1,则的方差为( )‎ A.1 B.2 C. 4 D.8‎ ‎4.设满足约束条件,则的最大值为( )‎ A.2 B.3 C. 4 D.5‎ ‎5.已知等比数列满足,则的值为( )‎ A.2 B.4 C. D.6‎ ‎6.如图,四边形是边长为2的菱形,,分别为的中点,则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何? ”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问一边在勾上的内接正方形边长为多少步? ”现向此三角形内投一粒豆子,则豆子落在这个内接正方形内的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,则输出的最大值为( )‎ ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎10.设,函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,则的值为( )‎ A.4 B. C. 1 D.2‎ ‎12.已知函数在上满足,当时,.若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知函数,若,则 .‎ ‎14.已知双曲线,过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段,两条垂线段的和为,则双曲线的离心率为 .‎ ‎15.在中,角所对的边分别为,,的面积,则的周长为 .‎ ‎16.在三棱锥中,,当三梭锥的体积最大时,其外接球的表面积为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知数列是等差数列,其前项和为,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18.如图,在三棱台中,,且面,,分别为的中点,为上两动点,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求四面体的体积.‎ ‎19.某校为了解该校多媒体教学普及情况,根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师,他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表:‎ ‎(1)由以上统计数据完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异? ‎ 附:,.‎ ‎(2)若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.‎ ‎20.在直角坐标系中,己知点,两动点,且,直线与直线的交点为.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)过点作直线交动点的轨迹于两点,试求的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若在定义域内无极值点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)求证:当时,恒成立.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆与直线交于点,求的大小.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知,.‎ ‎(1)若且的最小值为1,求的值;‎ ‎(2)不等式的解集为,不等式的解集为,,求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCAB 6-10: DBBDC 11、12:DA 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解:(1)设数列的首项为,公差为,则:‎ ‎,解得,所以数列的通项公式:‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎,‎ ‎①当时,,有:‎ ‎,‎ ‎②当时,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 综上所述:‎ ‎18.证明:(1)取的中点,连接,∵,为的中点,‎ ‎∴,又,∴,‎ ‎∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,‎ 同理,四边形为平行四边形,∴.∴四边为平行四边形,‎ ‎∵面,∴面,‎ ‎∴,又,∴面,‎ ‎∵面,∴.‎ ‎(2)∵面,面,∴面面 ,‎ ‎∵面面,∵,∴,∴面,‎ ‎∴为点到面的距离,即,‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎19.解:(1)根据所给数据可得如下列联表 由表中数据可得:.‎ ‎∴有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .‎ ‎(2)由题意,抽取6人,岁有2人,分别记为;岁有4人,分别记为;则抽取的结果共有15种:‎ ‎,‎ 设“至少有1人年龄在岁”记为事件,则事件包含的基本事件有14种 ‎∴‎ 即至少有1人年龄在岁的概率.‎ ‎20.解:(1)直线的方程: ‎ 直线的方程: ‎ 上述两式相乘得:,又,于是:‎ 由得,∴‎ 所以动点的轨迹方程:.‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,,有:,‎ 得;‎ 当直线的斜率存在时,设方程:‎ 联立:,整理得:‎ 有,‎ 由 ‎;‎ 由,可得:,‎ 综上所得:的取值范围:‎ ‎21.解:(1)由题意知,‎ 令,则,‎ 当时,在上单调递减, ‎ 当时,在上单调递增,‎ 又,∵在定义域内无极值点,‎ ‎∴ ‎ 又当时,在和上都单调递增也满足题意,‎ 所以 ‎ ‎(2),令,由(1)可知在上单调递増,又 ‎,所以存在唯一的零点,故在上单调递减,在上单调递増,‎ ‎∴‎ 由知 即当时,恒成立.‎ ‎22.解:(1)由,得圆的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为:,‎ 代入圆方程消去可得 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(也可以用几何方法求解)‎ ‎(法二)将直线的参数方程代入圆的方程可得:‎ 整理得:‎ ‎∴‎ 根据参数方程的几何意义,由题可得:‎ ‎.‎ ‎23.解:(1)(当时,等号成立)‎ ‎∵的最小值为 1,∴,∴ 或,又,∴.‎ ‎(2)由得,,∵,‎ ‎∴,即 且且.‎
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