2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．（5分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎2．（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．101 B．808 C．1212 D．2012‎ ‎3．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ ‎4．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎5．（5分）直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）‎ ‎6．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　）‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 ‎7．（5分）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 ‎8．（5分）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）‎ A．8 B．18 C．26 D．80‎ ‎10．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg ‎11．（5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎12．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．（5分）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数之和为　 　．‎ ‎14．（5分）命题“若x2+y2=0，则x、y都为0”的否定是　 　．‎ ‎15．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：　 　．‎ ‎16．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，4），C（﹣4，﹣3），求它的外接圆的方程．‎ ‎18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．‎ ‎（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB⊥DM；‎ ‎（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：‎ 月份 产量（千件）‎ 单位成本（元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎73‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎72‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎71‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎73‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎69‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎68‎ ‎（1）求出线性回归方程（计算结果保留小数点后两位）；‎ ‎（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少；‎ 参考公式：=，参考数据：，．‎ ‎21．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．‎ ‎（1）求A，C；‎ ‎（2）若△ABC的面积，求a，c．‎ ‎22．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年云南省玉溪市民族中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．（5分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．‎ ‎【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，‎ 因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的互相转化，解题时要正确掌握转化方法．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．101 B．808 C．1212 D．2012‎ ‎【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．‎ ‎【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12‎ ‎∴每个个体被抽到的概率为=‎ 样本容量为12+21+25+43=101‎ ‎∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ ‎【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．‎ ‎【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．‎ 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．‎ 再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎【分析】从直方图得出数据落在[10，12）外的频率后，再根据所求频率和为1求出落在[10，12）外的频率，再由频率=，计算频数即得．‎ ‎【解答】解：观察直方图易得 数据落在[10，12）的频率=（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.82；‎ 数据落在[10，12）外的频率=1﹣0.82=0.18；‎ ‎∴样本数落在[10，12）内的频数为200×0.18=36，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系：频率=．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）‎ ‎【分析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，‎ 由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=＞r=a，‎ 当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1＞a，即a（1﹣）＞1，因为a＞‎ ‎0，无解；‎ 当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1＞a，即（+1）a＜1，a＜=﹣1，‎ 所以a的范围是（0，﹣1）‎ 故选A ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆相离时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　）‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 ‎【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案 ‎【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．‎ B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90‎ 众数分别为88，90，不相等，A错．‎ 平均数86，88不相等，B错．‎ 中位数分别为86，88，不相等，C错．‎ A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，‎ B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，‎ 故两组数据的标准差均为2，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查众数、平均数、中位数，标准差的定义，根据相应的公式是解决本题的关键 ‎　‎ ‎7．（5分）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 ‎【分析】所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．依此结合互斥事件、对立事件的概念加以判断．‎ ‎【解答】解：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．‎ 易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；‎ 而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了互斥事件与对立事件的区别与联系，即互斥未必对立，对立一定互斥．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由题意N⊆M，由子集的定义可选．‎ ‎【解答】解：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，M⊇N，‎ 所以若“a∈M”推不出“a∈N”；‎ 若“a∈N”，则“a∈M”，‎ 所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，‎ 故B．‎ ‎【点评】本题考查充要条件的判断和集合包含关系之间的联系，属基本题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）‎ A．8 B．18 C．26 D．80‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体后，S=8，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 第三次执行循环体后，S=26，n=4，满足退出循环的条件；‎ 故输出S值为26，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg ‎【分析】根据线性回归方程的意义，判断选项中的命题是否正确即可．‎ ‎【解答】解：根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 ‎=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；‎ 回归直线过样本点的中心（，），B正确；‎ 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；‎ 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的意义与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题 而特称命题的否定是全称命题，‎ 则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．‎ ‎【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，‎ 解这个方程组需要用一些技巧，‎ 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，‎ 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；‎ ‎∴|x﹣y|=2|t|=4，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．（5分）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数之和为　91　．‎ ‎【分析】根据茎叶图写出原始数据，再按照从小到大顺序排列，求出中位数再求和．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图知，‎ 甲组数据从小到大分别为：28 31 39 42 45 55 57 58 66； ‎ 乙组数据从小到大分别为：29 34 35 42 46 48 53 55 67；‎ 甲组数据共9个，中位数为45；‎ 乙组数据共9个，中位数为46，‎ 所以甲、乙两组数据的中位数之和为45+46=91．‎ 故答案为：91．‎ ‎【点评】本题考查了中位数与茎叶图的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）命题“若x2+y2=0，则x、y都为0”的否定是　若x2+y2=0，则x、y不都为0（或至多有一个为0）　．‎ ‎【分析】直接利用命题的否定的定义，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：否定命题的结论即可得到命题的否定，‎ 命题“若x2+y2=0，则x、y都为0”的否定是：若x2+y2=0，则x、y不都为0（或至多有一个为0）．‎ 故答案为：若x2+y2=0，则x、y不都为0（或至多有一个为0）．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：　51　．‎ ‎【分析】根据所给的二进制的数字，写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方，倒数第二位乘以2的1次方，以此类推，写出后相加得到结果．‎ ‎【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51‎ 故答案为：51‎ ‎【点评】本题考查进位制之间的转化，本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方，注意这里的数字不用出错．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为　　．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出数轴上表示区间[0，1]的线段的长度及表示区间[﹣1，2]的线段长度，并代入几何概型估算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：在数轴上表示区间[0，1]的线段的长度为1；‎ 示区间[﹣1，2]的线段长度为3‎ 故在区间[﹣1，2]上随即取一个数x，则x∈[0，1]的概率P=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，4），C（﹣4，﹣3），求它的外接圆的方程．‎ ‎【分析】设所求△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A，B，C三点的坐标代入，即可求出△ABC的外接圆的方程．‎ ‎【解答】解：设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 将三顶点坐标代入圆的方程得，，‎ 解方程组得，D=0，E=0，F=﹣25．‎ ‎∴圆的方程为x2+y2=25．‎ ‎【点评】本题考查三角形外接圆的方程的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．‎ ‎（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．‎ 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，‎ 故所求的概率为．‎ ‎（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，‎ 从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，‎ 其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，‎ 所以概率为．‎ ‎【点评】本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，解题的关键是正确列举，分析得到事件的情况数目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB⊥DM；‎ ‎（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（I）由N是PB的中点，PA=AB，得AN⊥PB．由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN，由此能证明PB⊥DM．‎ ‎（ II）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥‎ CD，从而BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．由PB⊥平面ADMN，得∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．由此能求出CD与平面ADMN所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB．‎ 因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，‎ 从而PB⊥平面ADMN．因为DM⊂平面ADMN，‎ 所以PB⊥DM．‎ ‎（II）取AD的中点G，连结BG、NG，‎ 则BG∥CD，‎ 所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．‎ 因为PB⊥平面ADMN，‎ 所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．‎ 在Rt△BNG中，．‎ 故CD与平面ADMN所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：‎ 月份 产量（千件）‎ 单位成本（元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎73‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎72‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎71‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎73‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎69‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎68‎ ‎（1）求出线性回归方程（计算结果保留小数点后两位）；‎ ‎（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少；‎ 参考公式：=，参考数据：，．‎ ‎【分析】（1）由表中数据计算平均数和回归系数，写出回归方程；‎ ‎（2）由回归方程知产量x与成本之间的增减关系．‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据，计算=×（2+3+4+3+4+5）=3.5，‎ ‎=×（73+72+71+73+69+68）=71，‎ 又，，‎ ‎∴==≈﹣1.82，‎ ‎=﹣=71﹣（﹣1.82）×3.5=77.37，‎ ‎∴回归方程为：=﹣1.82x+77.37‎ ‎（2）由回归方程知，产量x增加1个单位时，‎ 成本平均减少1.82元．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．‎ ‎（1）求A，C；‎ ‎（2）若△ABC的面积，求a，c．‎ ‎【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C），然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围．‎ ‎（2）利用正弦定理和面积公式，联立方程组即可解出答案 ‎【解答】解：（1）因为，即，‎ 所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，‎ 即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，‎ 得 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．‎ 所以C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）．‎ 即 2C=A+B，得，所以.，‎ 又因为，则，或（舍去），‎ 得，‎ 故A=，C=；‎ ‎（2），‎ 又，即 ，‎ 得．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．‎ ‎【分析】（1）对所有n∈N*，Sn=3n2﹣2n，运用数列的递推式：a1=S1‎ ‎，an=Sn﹣Sn﹣1，由此能求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求得bn===（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得Tn，由恒成立思想和不等式的性质，由此能求出最小正整数m的值．‎ ‎【解答】解：（1）由点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，‎ 对所有n∈N*，Sn=3n2﹣2n，‎ 所以当n=1时，a1=S1=1，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）‎ ‎=6n﹣5，‎ 因为a1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为 an=6n﹣5（n∈N*）．‎ ‎（2）bn===（﹣），‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn ‎=（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（1﹣）=，‎ 由Tn＜，得m＞10（1﹣）对所有n∈N*都成立，‎ 因为10（1﹣）＜10，所以m≥10．‎ 所以，所求的最小正整数m的值为10．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，解题时要注意不等式性质的合理运用．‎ ‎　‎