高考数学复习课时提能演练(三十四) 5_5

高考数学复习课时提能演练(三十四) 5_5

‎ ‎ 课时提能演练(三十四)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.（2012·漳州模拟）已知数列{an}满足：a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则a4=（ ）‎ ‎(A)30 (B)14 (C)3 (D)15‎ ‎2.‎2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为‎2 km，此后每秒钟通过的路程增加‎2 km，若从这一秒钟起通过‎240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )‎ ‎(A)10秒钟 (B)13秒钟 ‎(C)15秒钟 (D)20秒钟 ‎3.（易错题）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则=（ ）‎ ‎4.已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和.若a2·a3=‎2a1,且a4与‎2a7的等差中项为，则S5等于( )‎ ‎（A）35 （B）33 （C）31 （D）29‎ ‎5.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1>b1，a1、b1∈N*(n∈N*)，则数列的前10项的和等于( )‎ ‎（A）65 （B）75 （C）85 （D）95‎ ‎6.（2012·合肥模拟）已知数列{an}为等差数列，若＜-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为( )‎ ‎(A)11 (B)19 (C)20 (D)21‎ 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.（2012·泉州模拟）设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和Sn等于_________.‎ ‎8.设Sn是数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数，则称数列｛an｝为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列{bn}________（填“是”或“不是”）“和等比数列”.‎ ‎9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.（2012·福州模拟）设Sn是数列{an}的前n项和，点P（an,Sn)在直线y=2x-2上（n∈N*).‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>2 011的n的最小值.‎ ‎11.（预测题）设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列，且公差为d,若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.‎ ‎(1)若a1=4,d=2，求证：该数列是“封闭数列”.‎ ‎（2）若an=2n-7(n∈N*),试判断数列{an}是否是“封闭数列”，为什么？‎ ‎（3）设Sn是数列{an}的前n项和，若公差d=1,a1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由.‎ ‎【探究创新】‎ ‎（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选D.an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),‎ ‎∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴a4+1=2×23=16,∴a4=15.‎ ‎2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过‎240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有 即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.‎ ‎3.【解析】选C.设公比为q,则q>0,‎ 依题意可得:2×(a3)=a1+2a2,‎ 即a3=a1+2a2,‎ 则有a1q2=a1+2a1q可得q2=1+2q,‎ 解得(舍)，‎ 所以故C正确.‎ ‎4.【解析】选C.由a2·a3=a1·a4=‎2a1得a4=2,‎ 又a4+‎2a7=,∴a7=,‎ 设等比数列{an}的公比为q，则a7=,‎ ‎∴,∴q=,a1=16,‎ ‎∴.‎ ‎5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得 an=a1+n-1,bn=b1+n-1,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴数列也是等差数列，且前10项和为.‎ ‎【方法技巧】构造等差数列求解 在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.‎ ‎（1）由递推公式构造等差数列 一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+3·2n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{}.‎ ‎（2）由前n项和Sn构造等差数列.‎ ‎（3）由并项、拆项构造等差数列.‎ ‎6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn＜0的n的最小值.‎ ‎【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,‎ 由得.‎ ‎∵‎ 由Sn=0得n=0或 ‎∵‎ ‎∴Sn＜0的解集为{n∈N*|}‎ 故使得Sn＜0的n的最小值为20.‎ 方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,‎ 由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,‎ 由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.‎ ‎7.【解析】∵y′=nxn-1-(n+1)xn,∴y′|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,‎ ‎∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),‎ 令x=0得y=(n+1)·2n，即an=(n+1)·2n,‎ ‎∴,∴Sn=2n+1-2.‎ 答案：2n+1-2‎ ‎8.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.‎ ‎【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以 设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列{bn}是“和等比数列”.‎ 答案：是 ‎9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,…,a10,‎ 则 则 即an=2an-1,‎ 因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ 所以 答案：2 046‎ ‎10.【解析】（1）依题意得Sn=2an-2,‎ 则n≥2时，Sn-1＝2an-1-2,‎ ‎∴n≥2时，Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.‎ 又n=1时，a1=2.‎ ‎∴数列{an}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列.‎ ‎∴an=2·2n-1=2n.‎ ‎(2)依题意 由Tn>2 011,得2n-2+2×>2 011,‎ 即 因此n的最小值为1 007.‎ ‎11.【解析】(1)an=4+(n-1)·2=2n+2,‎ 对任意的m,n∈N*,有am+an=(‎2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,‎ ‎∵m+n+1∈N*于是，令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}.‎ ‎(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-,所以数列{an}不是封闭数列.‎ ‎（3）由{an}是“封闭数列”，得：对任意m,n∈N*，必存在p∈N*使a1+(n-1)+a1+(m-1)‎ ‎=a1+(p-1)成立，于是有a1=p-m-n+1为整数，‎ 又∵a1＞0,∴a1是正整数.‎ 若a1=1,则所以不符合题意，‎ 若a1=2,则所以 ‎=而 所以符合题意，‎ 若a1=3,则所以 ‎=‎ 综上所述，a1=2时存在数列{an}是“封闭数列”，此时an=n+1(n∈N*).‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】(1)将点Pn代入函数f(x)后，利用Sn与an的关系，求得an;‎ ‎(2)先求f(x)在点Pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出Tn.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵点Pn(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，‎ ‎∴Sn=n2+2n(n∈N*)‎ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1,‎ 当n=1时，a1=S1=3满足上式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.‎ ‎(2)由f(x)=x2+2x,求导得f′(x)=2x+2.‎ ‎∵在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn,‎ ‎∴kn=2n+2,‎ ‎∴bn=‎ ‎∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,‎ 用错位相减法可求得 ‎【变式备选】已知等差数列{an}满足：an+1＞an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn.‎ ‎(2)设(n∈N*),若＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.‎ ‎【解析】(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比.‎ 由题意知，a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列{bn}的前三项,‎ ‎∴(2+d)2=2(4+2d)⇒d=±2.‎ ‎∵an+1＞an,∴d＞0.‎ ‎∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*).‎ 由此可得b1=2,b2=4,q=2,‎ ‎∴bn=2n(n∈N*).‎ ‎(2)Tn= ①‎ 当n=1时，当n≥2时， ②‎ ‎①-②，得.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵(3-)∈［2,3)，‎ ‎∴满足条件(c∈Z)恒成立的c的最小整数值为3.‎