数学（理）卷·2017江西省南昌二中高三上学期第四次考试（2016

数学（理）卷·2017江西省南昌二中高三上学期第四次考试（2016

南昌二中2016—2017学年度上学期第四次考试 高三数学（理）试卷 命题人： 审题人： ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．‎ ‎1．复数1+的共轭复数的虚部是（ ）‎ A． B． C．-1 D．1‎ ‎2. 函数y＝的定义域( )‎ A．(－1，3) B．(－1，3] C．(－1，0)∪ (0，3) D．(－1，0)∪ (0，3]‎ ‎3．下列说法错误的是（ ）‎ A． “”为真命题是“”为真命题的充分不必要条件 ‎ B．命题“若，则方程有实根”的否命题为真命题 C．命题“”的否定是“”‎ D．“”是“”的充分不必要条件 ‎4．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）‎ A． B．‎31 ‎ C．33 D．36‎ ‎5．已知实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数的图像关于对称，其中,则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．可由函数的图象向右平移个单位得到 C．可由函数的图象向左平移个单位得到 D．可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎8. 如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量,则（ ）‎ A． B． C． D．－‎ ‎10. 如图，已知是以原点为圆心，半径为的圆与轴的交点，点在劣弧（包含端点）上运动，其中，，作于．若记，则的取值范围是 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，记椭圆的离心率为，则函数的大致图象是（ ）‎ ‎12. 已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．‎ ‎13. <九章算术>“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共‎3升,下面3节的容积共‎4升,则第5节的容积为___________升.‎ ‎14. 四点在体积为的球面上，且， ，，则三棱锥的体积是____________．‎ ‎15. 如图,在正方形中作如下操作,先过点作直线交于,记,‎ 第一步,作的平分线交于,记,‎ 第二步,作的平分线交于,记,‎ 第三步,作的平分线交于,记,‎ 以此类推,得数列,若,那么数列的通项公式为          .‎ ‎16. 函数，在区间（0，2）上有两个 不同的零点，，则实数a的取值范围为______________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17 .(本小题满分12分)‎ ‎ 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若的面积，求及的值．‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ 已知数列中，，.‎ ‎(I)求证：数列是等比数列，并求通项公式；‎ ‎(II)设，求证：.‎ ‎19. (本小题满分12分) ‎ 已知三棱锥中，底面为边长为的正三角形,平面平面,,为上一点,,为底面三角形的重心. ‎ ‎（I）求证:；‎ ‎（II）求平面PAB与OBD夹角的的余弦值. ‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若3是关于x的方程的一个解，求t的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间上有零点，求t的取值范围．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）记两个极值点为，且，当，证明：‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 已知函数.‎ ‎（I）若，使得不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（II）当取第（1）问的最小值时，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 南昌二中2016—2017学年度上学期第四次考试 高三数学（理）试卷参考答案 ‎1.【解析】C 因为，其共轭复数为，所以得数复数的共轭复数的虚部是，故选C．‎ ‎2.【解析】D ‎ 由得解得－10,且a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即‎4a1+6d=3,‎3a1+21d=4,所以,所以第5节的容积为升.‎ ‎14.20‎ ‎【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，则有，解得，，，所以三棱锥的体积为－＝20．‎ ‎15.【解析】‎ 由已知得,‎ 依次类推,则,即,‎ 即数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ ,‎ 故答案为.‎ ‎16.【解析】‎ 由可得：，参变分离得：‎ ‎，令.‎ 即与直线有两个交点，‎ 画图像可得：.‎ ‎17.【解析】（1）‎ ‎∴，而在中，，‎ ‎∴，‎ ‎（2），‎ 由余弦定理有：，‎ ‎∴，由正弦定理有：‎ ‎18.【解析】（1）由已知得：；∴，‎ ‎∴，所以是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴，∴.‎ ‎(2)，‎ 令，∴，‎ 相减得，‎ ‎∴.‎ ‎19.【解析】(1)如图所示，连接交于点,连接. ‎ ‎∵O为正三角形的重心,∴, 且为中点.‎ 又, ∴∥, ‎ ‎ ,且为中点, ∴, ‎ 又平面平面, ,∴平面, ‎ ‎∴平面, ，∴ ‎ 又,, ‎ ‎∴平面,∴ ‎ ‎(2)方法一：由(1)知,两两互相垂直,且为中点,所以分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示.‎ ‎∴‎ ‎∴设平面PAB的法向量为,则 令,则，, ‎ 所以平面PAB的一个法向量 由(1)知平面,∴为平面的法向量,‎ ‎∴.‎ 故平面PAB与OBD夹角的的余弦值为.‎ 方法二：延长BO交AC于M，过M作MNBD于N，连结AN 由(1)知平面，∴‎ 又，∴平面，∴‎ ‎∴为二面角的平面角 ‎，，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴在中，‎ ‎∴‎ 故平面PAB与OBD夹角的的余弦值为.‎ ‎20.【解析】（Ⅰ）∵是方程的解，‎ ‎∴,∴， ‎ 又∵，∴ ， ∴． ‎ ‎（Ⅱ）∵时，， 又∵， ‎ ‎∴ ， ∴ ‎ ‎∴解集为：；‎ ‎ （Ⅲ） 解法一：∵‎ 由得：且， ‎ ‎∴ ‎ 设 且，则， ‎ 令 ∵当时，是减函数，‎ 当时，是增函数， 且 ．‎ ‎ ∴且 ．‎ ‎ ∴ 或, ‎ 的取值范围为：． ‎ 解法二：若,则在上没有零点．下面就时分三种情况讨论：‎ 方程在上有重根，则，解得： 又，‎ ‎∴； ‎ 在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有，‎ 解得：或，又经检验：或时，在上都有零点；‎ ‎∴或． ‎ 方程在上有两个相异实根，则有：‎ ‎ 或 解得： ‎ 综合①②③可知：的取值范围为或．‎ ‎21.【解析】（1）依题意，函数的定义域为，所以在上有两个不同的解，‎ 即方程在上有两个不同的解，也即在上有两个不同的解，‎ 令，，所以当时，，当时，，‎ 所以在上单增，在上单减，所以，又，‎ 当时，时，，‎ 所以.‎ ‎(2)证明：欲证等价于要证：，‎ 因为为方程的两根，，，‎ 所以，因为，‎ 所以原式等价于要证明：.‎ 又，，作差得，‎ 所以原式等价于要证明：，‎ 令，上式等价于要证：，，‎ 令，所以，‎ 当时，，所以在上单增，因此，‎ 在上恒成立，所以原不等式成立。‎ ‎22.【解析】方法一：由题意，方程有解，‎ 又因为，‎ 由题意只需，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 方法二：化简,‎ 所以的最小值为，‎ 由题意得，所以实数的取值范围为.‎ ‎（2）根据题意，，‎ 由图像可知，或