2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二上学期期中联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是 A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设点关于点的对称点的坐标是,‎ 根据中点坐标公式可得，解得，‎ 所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎2．直线的倾斜角为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用直线的斜率是其倾斜角的正切值求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设直线的倾斜角为，‎ 因为直线的斜率为，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β ‎【答案】D ‎【解析】本题考查空间点线面位置关系。若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交，若m∥n，mα,nβ,则α与β可能相交。若∥，∥，则可能在平面内。‎ ‎4．直线：与圆交于两点，，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为圆的圆心为，半径，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 又因为，所以，解得或，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.‎ ‎5．在直三棱柱中，，，则其外接球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，三棱柱的外接球就是长方体的外接球，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直三棱柱中，，，‎ 所以可将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，‎ 三棱柱的外接球就是长方体的外接球，‎ 外接球的直径就是长方体的体对角线长，‎ 所以，‎ 外接球的体积为 ，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解.‎ ‎6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A．15π B．18π C．22π D．33π ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为3的半球，下部是一个圆锥，圆锥的底面半径为3.母线长为5，利用球的表面积公式与圆锥的侧面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为3的半球，下部是一个圆锥，圆锥的底面半径为3.母线长为5，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.‎ 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎7．三棱锥中，，，，则二面角等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】取中点 ,连结 ,由等腰三角形的性质可得，,是二面角的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角的平面角的度数.‎ ‎【详解】‎ 取中点 ,连结 ,‎ 三棱锥中，，‎ 所以 是二面角的平面角，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 二面角的平面角的度数为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥的性质、二面角的求法，属于中档题.‎ 求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.‎ ‎8．在体积为15的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一点，三棱锥S－ABC的体积为3，则三棱锥S－A1ABB1的体积为 ‎ A．11 B． C．10 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】由的体积等于的体积，结合棱柱的体积为15，利用分割法可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为平面，‎ 所以到平面的距离等于到平面的距离，‎ 所以的体积等于的体积，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3) ‎ 求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx+3m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知曲线表示一个圆，曲线表示两条直线和，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，此圆与有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与要有2个交点，根据直线过定点，先求出直线与圆相切时的值，然后根据图象可写出满足题意的的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知曲线表示一个圆，化为标准方程得：‎ 圆心坐标为，半径；‎ 表示两条直线和，‎ 由直线可知，此直线过定点，‎ 直线和圆交于点和，‎ 因此直线与圆相交即可满足条件，‎ 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，‎ 化简得，解得，‎ 而时，直线方程为，两直线重合，不合题意，‎ 则直线与圆相交时，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.‎ ‎10．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出圆的圆心坐标和半径，作出圆关于直线的对称圆，连结，则与直线的交点即为点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，的最小值为.‎ ‎【详解】‎ 由圆，圆，‎ 可知圆圆心为，半经为1，如图，‎ 圆圆心为，半经为2，‎ 圆关于直线的对称圆为圆，‎ 连结，交于，则为满足使最小的点，‎ 此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，‎ 最小值为，‎ 而，‎ 的最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ ‎11．若圆上总存在点A，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】问题等价于圆 和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可.‎ ‎【详解】‎ 问题可转化为圆和圆相交或相切，‎ 两圆圆心距，‎ 由得，‎ 解得，即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.‎ ‎12．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论错误的是 A．平面 B．直线与平面所成角的正切值为 C．四面体的内切球表面积为 D．异面直线和所成角的余弦值为 ‎【答案】C ‎【解析】由可判断；连接，则为与平面所成的角，求出正切值可判断；设四面体内切球半径为，表面积为，体积为，利用求出半径可判断；取的中点，可得为异面直线和所成角，求出余弦值可判断.‎ ‎【详解】‎ 翻折前，，故翻折后，, 又平面，故正确.‎ 连接，则为与平面所成的角，‎ ‎，是的中点，，‎ ‎，又,，故正确.‎ 设四面体内切球半径为，表面积为，体积为，‎ 则，又因为，‎ ‎，‎ 所以，内切球的表面积为，错，‎ 取的中点，连接，则，‎ 为异面直线和所成角，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故正确，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面垂直、线面角、异面直线所成的角以及多面体的内切球，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 二、填空题 ‎13．已知直线l1：2x＋my＋1＝0与l2：3x－y－1=0平行，则m的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，即可解出的值.‎ ‎【详解】‎ 两直线平行，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线平行的充要条件，属于基础题. 两直线平行时，直线方程中，一次项的系数对应成比例，但此比例不等于对应的常数之比.‎ ‎14．如图所示，为水平放置的的直观图，其中，，则的面积是__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由斜二侧画法规则将还原为，可得是—个等腰三角形，直接求解其面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由斜二侧画法规则将还原为，‎ 如图所示，是—个等腰三角形，‎ 则有，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二侧面画法中原图和直观图之间的关系，意在考查对基础知识的理解以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题..‎ ‎15．某三棱锥的三视图如图所示，则其所有面中，面积最大的面的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图画出该三棱锥的直观图，底面为直角边为1、2的直角三角形，棱锥的高为1，求出4个的面积即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可得该三棱锥的直观图，如图中的所示，‎ 则，‎ ‎，‎ 故其四个面中最大的面积为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图及空间几何体的表面积，属于中档题.求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题， 即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点•求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.‎ ‎16．过动点作圆的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得动点在直线 ，的最小值就是的最小值，利用点到直线的距离公式求解即可，‎ ‎【详解】‎ 设，，‎ ‎，‎ 整理得，‎ 即动点在直线上，‎ 的最小值就是的最小值，‎ 等于原点到直线的距离，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及转化思想化的应用，属于中档题.‎ ‎ 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.‎ 三、解答题 ‎17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.‎ ‎（1）求顶点的坐标；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设 则， 代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由边上的高所在直线方程为得， ‎ 所以直线AB所在的直线方程为，即 ‎ 联立 解得 ‎ 所以顶点的坐标为（4,3）‎ ‎（2）因为在直线上，所以设 ‎ 则， ‎ 代入中，得 ‎ 所以 ‎ 则直线的方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.‎ ‎18．已知圆过点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点为圆上任意一点，求的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为0‎ ‎【解析】（1）由，求出的垂直平分线方程，与直线联立求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）可以看成是点与连线的斜率 ，直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时的的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得中点为，，‎ 所以的垂直平分线为 ‎ 联立，得    ，则， ‎ 圆的半径为， ‎ 所以圆的方程为 ‎ ‎（2）可以看成是点与连线的斜率 ‎ 直线的方程为，即 ‎ 当直线为圆的切线时，有，解得 ‎ 所以的最大值为，最小值为0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程和性质、以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.‎ ‎19．如图，在棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，面是菱形，且，为的中点.‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）取中点，连结，由等腰三角形与等边三角形的性质可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（2）取中点，连结，，则可得，，由此可得平面， 从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连结， ‎ ‎∵侧面是边长为的正三角形，∴‎ 在中，，，∴‎ 又，‎ 且，∴.‎ ‎（2）取中点，连结，， ‎ 则，又∴. ‎ 确定一个平面， 平面 ‎ ‎ ，∴，‎ 又∵，且，平面， ‎ 平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考线面垂直证明线性垂直及面面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面 平面，点、分别为、中点，.三棱锥的体积. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，可证明四边形是平行四形，可得，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）由面面垂直的性质可得平面，结合平面平面平面，再证明平面，点到平面的距离等于，利用棱锥的体积可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接．‎ 在△中，有，别为、中点，‎ ‎；在矩形中，为中点，‎ ‎，，四边形是平行四形，‎ 而平面，平面，‎ 平面． ‎ ‎（2）四边形是矩形，‎ ‎，；‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，‎ 平面平面，平面， ‎ ‎，设 ‎，，平面，‎ 平面，点到平面的距离．‎ 三棱锥的体积 ‎ 解得，所以的长为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积公式，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎21．如图1，在矩形中，，分别是的中点，分别是的中点，将四边形，分别沿，折起，使平面平面，平面平面，如图2所示，是上一点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使得？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】（1）结合平面图形的性质，利用线面垂直的判定定理可得平面，则，再由面面垂直证明线面垂直，进而可得，利用勾股定理可得，从而可得结论；（2）当时，平面，在上取点，使得，连接，可证明平面，此时.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）折叠前，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 因为，所以 因为平面平面，平面平面 ，，所以 所以 由（1）得，所以 在梯形中，易得，，所以，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）‎ 当时，.‎ 在上取点，使得，连结，‎ 所以 又，所以，‎ ‎，， ‎ 是平行四边形，所以，‎ 此时 所以当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理以及线面平行的判定，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.‎ ‎22．已知圆，为圆内一点，为圆上的动点，且，是的中点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与点的轨迹交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设点，由，可得，化简即可得结果；（2）讨论两种情况，求出斜率不存在时的值，斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理根据平面向量数量积的坐标表示，表示出，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点，‎ 依题得， ‎ 即， ‎ 化简得 ‎（2）设 ‎①当直线的斜率不存在时，其方程为，则 代入，得，则，‎ 所以此时 ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 联立，得，‎ 则. ‎ ‎. ‎ 设，则 当时，； ‎ 当时，. ‎ ‎，‎ 综上所述 ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎