【三维设计】2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)课余自主加餐训练 (四)概率、统计专练

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【三维设计】2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)课余自主加餐训练 (四)概率、统计专练

www.ks5u.com ‎(四)概率、统计专练 ‎1.已知从A地到B地共有两条路径L1和L2,据统计,经过两条路径所用的时间互不影响,且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图1和图2.‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地.‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地,甲和乙应如何选择各自的路径?‎ ‎(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.‎ ‎2.调查表明,市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意.再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级:若ω≥4,则居住满意度为一级;若2≤ω≤3,则居住满意度为二级;若0≤ω≤1,则居住满意度为三级.为了解某城市居民对该城市的居住满意度,研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查,得到如下结果:‎ 人员编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(x,y,z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(0,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 人员编号 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎(x,y,z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,0,0)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1)在这10名被调查者中任取2人,求这2人的居住满意度指标z相同的概率;‎ ‎(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人,其综合指标为m,从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人,其综合指标为n,记随机变量ξ=m-n,求随机变量ξ的分布列及其均值.‎ ‎3.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下:‎ ‎(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小,并判断哪名同学做解答题相对稳定些;‎ ‎(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.‎ ‎4.某中学根据2004~2016年期间学生的兴趣爱好,分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m、、n,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且m>n.‎ ‎(1)求m与n的值;‎ ‎(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修学分分数的分布列及均值.‎ 答 案 ‎1.解:(1)用Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到B地”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到B地”,i=1,2.‎ 由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得 P(A1)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,‎ P(A2)=(0.01+0.04)×10=0.5,‎ ‎∵P(A1)>P(A2),故甲应选择路径L1.‎ P(B1)=(0.01+0.02+0.03+0.02)×10=0.8,‎ P(B2)=(0.01+0.04+0.04)×10=0.9,‎ ‎∵P(B2)>P(B1),故乙应选择路径L2.‎ ‎(2)用M,N分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到B地,‎ 由(1)知P(M)=0.6,P(N)=0.9,‎ 又由题意知,M,N相互独立,X的可能取值为0,1,2,‎ ‎∴P(X=0)=P(M·N)=P(M)P(N)=0.4×0.1=0.04;‎ P(X=1)=P(MN+MN)=P(M)P(N)+P(M)P(N)=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42;‎ P(X=2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.6×0.9=0.54.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54‎ ‎∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.‎ ‎2.解:(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人,这2人的居住满意度指标z相同”,则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名;居住满意度指标z为1的编号有2、4、5、7、10共5名;居住满意度指标z为2的编号有1、3、6、8共4名.‎ 从10名被调查者中任取2人,所有可能的结果为C=45(种),这2人的居住满意度指标z相同的结果为C+C=10+6=16(种),所以在这10名被调查者中任取2人,这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)=.‎ ‎(2)计算10名被调查者的综合指标,可列下表:‎ 人员编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ 其中居住满意度为一级的编号有1、2、3、5、6、8共6名,则m的值可能为4、5、6;居住满意度不是一级的编号有4、7、9、10共4名,则n的值可能为1、2、3,所以随机变量ξ所有可能的取值为1、2、3、4、5.‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,‎ P(ξ=3)==,‎ P(ξ=4)==,‎ P(ξ=5)==,‎ 所以随机变量ξ的分布列为:‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×=.‎ ‎3.解:(1)甲=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15,‎ 乙=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,‎ s=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75,‎ s=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.‎ 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等;甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大.‎ 所以乙同学做解答题相对稳定些.‎ ‎(2)根据统计结果,在一次周练中,甲和乙失分超过15分的概率分别为P1=,P2=,‎ 两人失分均超过15分的概率为P1P2=,‎ X的所有可能取值为0,1,2.依题意,X~B,‎ P(X=k)=C,k=0,1,2,‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P X的均值E(X)=2×=.‎ ‎4.解:(1)依题意可知, 解得 ‎(2)令该新同学在社团方面获得校本选修学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.‎ 而P(X=0)=××=;‎ P(X=1)=××=;‎ P(X=2)=××=;‎ P(X=3)=××+××=; ‎ P(X=4)=××=;‎ P(X=5)=××=;‎ P(X=6)=××=.‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 于是,E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.‎
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