2018-2019学年内蒙古集宁一中(西校区)高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古集宁一中(西校区)高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古集宁一中(西校区)2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．椭圆的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程可知，求出，求离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆方程为 ,‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单性质，属于中档题.‎ ‎2．已知命题p：，命题q：.则下列命题为真命题的是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：对于命题：当如，则，所以命题 是真命题，则是假命题，对于，，所以不等式解集为,所以 命题是真命题，命题是假命题，所以为真命题，选A.‎ 考点：复合命题的真假 点评：本题借助不等式知识考查命题真假性，关键是判断已知不等式是否成立，属基础题.‎ ‎3．是 （ ）‎ A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题根据所给条件结合正弦定理，余弦定理，两角和与差公式可得sin2A=sin2B,然后根据三角形内角分析得到三角形ABC是等腰三角形或直角三角形；‎ ‎,，‎ 代入,整理可得:由正弦定理:联立可得sin2A=sin2B，‎ 所以2A="2B" 或2A="180°-2B" ，所以A=B或A+B="90°" 因此ABC是等腰三角形或直角三角形 考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差公式 ‎4．若点的坐标满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，可以看做可行域内一点与原点距离的平方，利用数形结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 可以看做可行域内一点与原点距离的平方，根据图象可知，C点到原点距离最大，‎ 联立 解得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划，两点间的距离，属于中档题.‎ ‎5．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，，写出椭圆方程即可.‎ ‎【详解】‎ 因为短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为的正方形的顶点，‎ 所以，‎ 又焦点在轴上，‎ 所以椭圆方程为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，属于中档题.‎ ‎6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①是命题；‎ ‎②“”是“”成立的充分不必要条件；‎ ‎③命题“三角形内角和为”的否命题是 “三角形的内角和不是”；‎ ‎④命题“”的否定是“”.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项分析即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①,不能判定真假，不是命题，故错误；‎ ‎②“”是“”成立的充分必要条件，故错误；‎ ‎③命题“三角形内角和为”的否命题是 “不是三角形的多边形内角和不是”，故错误；‎ ‎④命题“”的否定是“”，故错误.‎ 综上正确命题的个数是0个，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题，充分条件、必要条件，否命题，命题的否定，属于中档题.‎ ‎7．设成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.‎ 考点：等比数列 ‎8．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为（　　）‎ A． 180 B． －180 C． 90 D． －90‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等差数列{an}中a4+a6=－4得，，又a3·a7=－12，则是方程，解这个方程得，又等差数列{an}的公差为正数，所以，则，解得，‎ 则。故选A。‎ ‎9．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查基本不等式 ‎，，，故A、B选项都是错误的。‎ ‎，所以 故选择C ‎10．已知抛物线的焦点（），则抛物线的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：以为焦点的抛物线的标准方程为.‎ 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程.‎ ‎11．ΔABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a,b,c,设向量，，若，则C的大小为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题考查两向量共线的充要条件、余弦定理的灵活应用；‎ 由得，又因为 ‎，所以选B ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　)‎ A． 2 B． 3 C． 6 D． 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：点和点的坐标分别为，，设点的坐标为，，，则，其中，所以，点在椭圆上，所以的取值范围是，二次函数在上的最小值为2，即，故选B．‎ 考点：1、椭圆的简单性质；2、向量的数量积；3、二次函数最值．‎ ‎【思路点睛】本题在求解的最小值时，先表示出向量的坐标，，再根据平面向量的坐标运算，巧妙地把向量最值问题转化成函数最值问题 ‎，然后根据椭圆中变量的取值范围得出函数的定义域，最后求解函数在该区间上的最值即可．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知ΔABC中，三个内角A，B，C所对边长分别是a,b,c,且,b = 3，,则c = ______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理可以求边长c即可.‎ ‎【详解】‎ ΔABC中,‎ 由 得：，‎ 解得或 ‎ 故填 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，属于中档题.‎ ‎14．若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可得且,解之得且,故应填.‎ 考点：椭圆的标准方程及运用．‎ ‎15．设x，y都是正数，且 ，则 的最小值______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，展开，利用均值不等式即可求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以的最小值为，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了均值不等式，属于中档题.‎ ‎16．已知椭圆，A为左顶点，B为短轴端点，F为右焦点，且，则椭圆的离心率等于_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的性质，通过，推出a、c关系，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的左顶点为M（﹣a，0），上顶点为N（0，b），右焦点为F（c，0），‎ 若，，可知NM⊥NF，‎ 可得：a2+b2+b2+c2=（a+c）2，又a2=b2+c2，‎ 所以a2﹣c2=ac，‎ 即e2+e﹣1=0，e∈（0，1），‎ 解得e=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的垂直，考查转化思想以及计算能力，求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小： ‎ ‎（Ⅱ）若c ＝,且△ABC的面积为 ,求a＋b的值 ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得边c 试题解析：‎ 解：‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ ‎∵是锐角，∴，故.‎ ‎（2）∵，∴‎ 由余弦定理得 ‎∴‎ 点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 ‎18．已知数列{}是等差数列，其前n项和为，且满足＝9，‎ ‎(1)求{}的通项公式；‎ ‎(2)设＝，求数列{}的前n项和为 ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)分类讨论:时,;时,;  (2) 求得，再利用裂项相消法求和。‎ 试题解析： (1)当时，‎ ‎，‎ 当时，由，符合上式 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由，可得，‎ ‎.‎ ‎19．已知椭圆 的左右焦点分别为和，离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设A，B是直线上的不同两点，若，求的最小值 ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列出关于 的方程，求解即可写出椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设的坐标，由可得坐标之间的关系，根据距离公式写出距离后利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 ，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 设直线上的不同两点的坐标分别为，‎ 则,‎ 由，得，即，不妨设，‎ 则 当时取等号.‎ 所以的最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，数量积的运算，均值不等式，属于中档题.‎ ‎20．已知双曲线方程为，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑斜率不存在时，显然不成立，再考虑斜率存在时设l：y－1＝k(x－1)，联立双曲线方程，当判别式Δ＞0时，由根与系数的关系得x1＋x2＝,解出k,再检验即可.‎ ‎【详解】‎ 显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．‎ 联立y－1＝k(x－1)和，‎ 消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由Δ＞0，得k＜，x1＋x2＝，‎ 由M(1，1)为PQ的中点，得＝1，解得k＝2，这与k＜矛盾，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，中点弦问题，属于中档题.‎ ‎21．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）b＝－1.（2）(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）整理直线和抛物线的方程构成的方程组，利用即可求得的值；（2）由（1）的结论即可求得圆心，根据圆与抛物线的准线相切得到圆的半径，即可写出圆的标准方程.‎ 试题解析：（1）)由得x2-4x-4b=0．(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1．‎ ‎（2）由（1）可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2．将其代入x2=4y,得y=1．‎ 故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切,‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,‎ 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4．‎ 考点：直线与抛物线、圆的位置关系.‎ ‎22．已知都是不为零的实数，求证：＋＋．‎ ‎【答案】证明：‎ ‎【解析】‎ 略