2019-2020学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.‎ ‎【详解】‎ A.当时，，故不正确；‎ B.当时，，故正确；‎ C.当时， ，故不正确；‎ D.当时，，故不正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，属于基础题型.‎ ‎2．己知等差数列中，，则（ ）‎ A．7 B．8 C．14 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质，求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，属于基础题型.‎ ‎3．已知椭圈的两个焦点是，椭圆上任意一点与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件分别求和，然后再求离心率.‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆的定义可知 ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查离心率的求解，属于基础题型.‎ ‎4．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定形式书写.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是 ‎，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，属于基础题型.‎ ‎5．恩格尔系数（记为）是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重.国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.联合国对消费水平的规定标准如下表：‎ 家庭类型 贫穷 温饱 小康 富裕 最富裕 实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况（单位：万元）的抽样调查，2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2020年将处于（ ）‎ A．贫困水平 B．温饱水平 C．小康水平 D．富裕水平 ‎【答案】C ‎【解析】分别求出2020年每个家庭平均消费支出，和每个家庭食物支出，然后求恩格尔系数.‎ ‎【详解】‎ ‎2020年每个家庭平均消费支出总额为万元，‎ ‎2020年每个家庭食物消费支出为万元，‎ ‎2020年恩格尔系数 ‎ ‎，‎ 所以该山区的家庭2020年将处于小康水平.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了读懂数据，分析数据，意在考查概括，抽象和计算能力，属于基础题型.‎ ‎6．已知在处取得最小值，则（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分和分别讨论求函数的最小值，当时，利用基本不等式求函数的最小值，根据等号成立的条件求.‎ ‎【详解】‎ 当时，在单调递减，不满足条件，‎ 当时，， ‎ 当且仅当时，函数取得最小值，‎ 解得：，‎ 即 ，‎ 解得：.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求函数的最小值，意在考查变形，转化和计算能力，属于基础题型.‎ ‎7．己知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示交点在轴的椭圆，‎ ‎ ，解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.‎ ‎8．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设得金最多的数为数列首项，公差为，则 ‎，解得，因此每等人比下等人多得斤．故选B．‎ ‎【考点】等差数列的和．‎ ‎9．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分和两种情况讨论，当不等式恒成立时，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，恒成立，满足条件；‎ 当时， ，解得：，‎ 综上，.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数恒成立求参数的取值范围，属于基础题型，本题需讨论，容易忽略的情况，讨论时需全面.‎ ‎10．己知数列满足，则（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据递推公式，依次求出，，， ，判断数列的周期，根据周期求.‎ ‎【详解】‎ 当时， ， ‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ 是周期为4的数列， ，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查数列的周期性，根据周期求指定项，属于基础题型，数列具有函数的性质 ‎：一般求下标比较大的项时，可以考虑求数列的解析式，如果不易求函数的解析式，考虑求函数的周期，有些数列也具有单调性，当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，当时，数列是常数列.‎ 二、多选题 ‎11．设，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.‎ ‎【详解】‎ A.当时，成立，故A正确；‎ B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，故B不正确；‎ C.当时，，所以，故C正确；‎ D.，所以，等号成立的条件是当且仅当 ‎，即，故D正确.‎ 故答案为：ACD ‎【点睛】‎ 本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型.‎ ‎12．已知等比数列中，满足，则（ ）‎ A．数列是等差等列 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列是递减数列 ‎【答案】BC ‎【解析】根据已知条件可知，，然后逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ A. ，，是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；‎ B．由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；‎ C. ， ，所以是等差数列，故正确；‎ D.由C可知是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D不正确.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查判断数列是否是等差和等比数列，以及判断函数的单调性，意在考查理解两个基本数列，会用最基本的方法判断，属于基础题型.‎ ‎13．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为地球的中心是椭圆的一个焦点，‎ 并且根据图象可得 ，（）‎ ‎ ，故A正确；‎ ‎，故B正确；‎ ‎（）两式相加，可得，故C不正确；‎ 由（）可得 ，两式相乘可得 ‎ ‎ ，‎ ‎ ，故D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.‎ 三、填空题 ‎14．若关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知条件可知，需满足，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 一元二次方程有两个不相等的正实数根，‎ ‎ ，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程实数根的分布求参数取值范围，若方程有两个不相等负根，需满足，若有一正一负根，需满足，然后根据韦达定理列不等式求解.‎ ‎15．能够说明“设是任意实数，若，则依次成等比数列”是假命题的一组数的值依次为________.‎ ‎【答案】形如或等答案 ‎【解析】由构成等比数列的项不能是0，而含有0的三个数满足，得举反例时， 里含有0.‎ ‎【详解】‎ 因为构成等比数列的项不能是0，而含有0的三个数满足，所以举反例时， 里含有0.‎ ‎ 或都满足.‎ 故答案为：形如或等答案 ‎【点睛】‎ 本题考查举反例说明命题是假命题，答案不唯一，属于开放性试题，通过构成等比数列的特点，直观想象三个数.‎ ‎16．已知椭圆上的点与两焦点的连线互相垂直，则点的坐标是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，满足，且需满足，求点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设， ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，①‎ ‎ ②‎ 由①②可知，.‎ 即.‎ 所以点的坐标.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的几何性质求点的坐标，意在考查转化与化归，计算求解能力，属于基础题型.‎ ‎17．一定温度下，某种不饱和溶液的质量为克.其中溶质为克，若再添加该溶质克，且全部溶解，则该溶液的浓度________（用“变大”、“变小”或“不变”填写）；该溶液浓度变化的大小关系可用不等式________表示.‎ ‎【答案】变大 . ‎ ‎【解析】（1）由只添加了溶质，得溶液浓度变大；（2）变化添加溶质之前的浓度是，添加之后的浓度是 ，比较大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在原溶液的情况下，只添加了溶质，所以浓度变大；‎ ‎（2）添加溶质之前的浓度是（），添加溶质之后的浓度变为， ‎ 因为添加溶质后浓度变大，‎ 所以不等式关系是 .‎ 故答案为：变大；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据实际问题，得到不等式，属于基础问题，意在考查抽象，概括能力.‎ 四、解答题 ‎18．已如椭圆的右焦点，且点在椭圆上.‎ ‎（l）求椭圆的标准方程：‎ ‎（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求线段的长度.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据条件可知，，利用，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线的方程是，代入椭圆方程，得到，得到韦达定理，代入弦长公式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，焦点且过点，‎ 椭圆方程为 ‎（2）由题意得，直线的方程为，设 联立直线与椭圆方程，得 ‎，，，‎ 则 ‎，‎ 又 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程和弦长公式，意在考查椭圆的基础内容，以及计算求解能力，属于基础题型.‎ ‎19．（1）已知一元二次方程的两根分别为2和，求关于的不等式的解集.‎ ‎（2）求关于的不等式的解集 ‎【答案】(1) (2)答案不唯一，见解析 ‎【解析】（1）根据韦达定理，求，代入不等式，解分式不等式；‎ ‎（2）原不等式可化为，时，解不等式；当时，方程的两根为，讨论两根的大小关系，解不等式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由韦达定理知，‎ 不等式为，移项整理得 ‎，解得 不等式的解集为 ‎（2）由题意得，原不等式可化为 ‎（1）当时，原不等式的解集为 ‎（2）当时，方程的两根为 ‎①当时，即时，原不等式的解集为 ‎②当时，即时，原不等式的解集为 ‎③当时，即时，原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式的解集为；当0时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的解法，意在考查转化与化归，分类讨论的思想，和熟练的计算能力，属于基础题型.‎ ‎20．设是公差大于0的等差数列.其前项和为， 且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）设公差为，根据等差数列的基本量代入方程求解；‎ ‎（2）根据（1）可求得，，利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设数列的公差为，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎（2），‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量法求通项公式，和裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.‎ ‎21．某小电子产品2018年的价格为9元/件，年销量为件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为元/件（其中），经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了件（其中常数）.已知该电子产品的成本价格为4元/件.‎ ‎（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益与实际价格的函数关系式：（年收益=年销售收入-成本）‎ ‎（2）设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%？‎ ‎【答案】(1) (2) 7元/件 ‎【解析】（1）价格下降后的销量为，每件产品的利润为，根据公式求解函数解析式；‎ ‎（2）当时，依题意有，解不等式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为该电子产品价格下降后的价格为元/件，‎ 此时销量增加到件，‎ 此时每件电子产品利润为元.‎ 年收益 ‎（2）当时，依题意有，‎ 整理得：，‎ 所以或，‎ 又 所以 因此当实际价格最低定为7元/件时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的实际应用，意在考查抽象概括应用能力，属于基础题型.‎ ‎22．已知数列的前和为，且满足，其中且.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）当，令，数列的前项和为，若需恒成立，求正整数的最小值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)10‎ ‎【解析】（1）当时， ，两式相减可得数列的递推公式，可证明；‎ ‎（2）根据（1）的结果可知当时，，得，利用错位相减法求和，最后再解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①‎ ‎②‎ 由①-②得，‎ 又且 是首项为，公比的等比数列.‎ ‎（2）当，则，且，‎ ‎，‎ ‎①‎ ‎②‎ 由①-②得，‎ 在为增函数，且，，‎ 又 的最小值为10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.‎ ‎23．已知圆，圆心为点，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点在圆上运动.‎ ‎（l）求动点的轨迹的方程;‎ ‎（2）若为曲线上任意一点，|的最大值;‎ ‎（3）经过点且斜率为的直线交曲线于两点在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)3；(3) 存在,点 ‎【解析】（1）连接，根据中垂线性质可知，可得，满足椭圆定义；（2）根据（1）可知，点，是椭圆的焦点，所以，利用基本不等式求的最大值；（3）假设存在点，设，直线方程为，与椭圆方程联立，得，利用韦达定理得到，由 代入坐标表示，求.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）连接，是线段的垂直平分线：‎ 点到两定点距离之和为定值，‎ 点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 动点的轨迹的方程为 ‎（2）为曲线上任意一点，‎ ‎，当且仅当时，等号成立 ‎（3）假设存在点，设，直线方程为，代入椭圆方程，得 由 由于对任意恒成立，因此 恒成立 即恒成立 恒成立，因此 综上所述，存在点满足题意 ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹法求椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及最值和定点问题，第三问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎