高中数学 第三章 章末综合训练 新人教A版选修2-2

高中数学 第三章 章末综合训练 新人教A版选修2-2

选修2-2 3章末综合训练 一、选择题 ‎1．复数i3(1＋i)2＝(　　)‎ A．2　　　　 B．－‎2　‎ 　 　‎ C．2i　　　　 D．－2i ‎[答案]　A ‎[解析]　考查复数代数形式的运算．‎ i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.‎ ‎2．对于下列四个命题：‎ ‎①任何复数的绝对值都是非负数．‎ ‎②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．‎ ‎③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.‎ ‎④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．‎ 其中正确的有(　　)‎ A．0个　　　 B．1个　　　‎ C．2个　　　 D．3个 ‎[答案]　D ‎[解析]　①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都阿是1.④正确．故应选D.‎ ‎3．(2010·陕西理，2)复数z＝在复平面上对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　A ‎[解析]　z＝＝＋i，对应点在第一象限．‎ ‎4．设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是(　　)‎ A．－1 B．1 ‎ C. D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有 ，∴a＝－1.‎ ‎5．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)‎ A．1 B．±1 ‎ C．－1 D．－2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　解法1：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.‎ 解法2：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；‎ x＝－1时，原复数为0不满足，排除B，故选A.‎ 二、填空题 ‎6．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　由z1＝1－i，z2＝3－5i知 Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d＝＝2.‎ ‎7．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝______________.‎ ‎[答案]　9－5i ‎[解析]　∵z＋(1＋2i)＝10－3i ‎∴z＝10－3i－(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i ‎＝9－5i.‎ ‎8．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________．‎ ‎[答案]　　 ‎[解析]　z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)‎ ‎＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)‎ 实部cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，最大值为，‎ 虚部cosθ－sinθ＝cos≤，最大值为.‎ 三、解答题 ‎9．设存在复数z同时满足下列条件：‎ ‎(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；‎ ‎(2)z·＋2iz＝8＋ai (a∈R)，试求a的取值范围．‎ ‎[解析]　设z＝x＋yi (x、y∈R)，‎ 由(1)得x<0，y>0.‎ 由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.‎ 即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.‎ 由复数相等得， 解得－6≤a＜0.‎ ‎10．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.‎ ‎(1)求z的实部的取值范围；‎ ‎(2)设u＝，求证：u是纯虚数．‎ ‎(3)求ω－u2的最小值．‎ ‎[分析]　本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．‎ ‎[解析]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，‎ 则ω＝z＋＝a＋bi＋ ‎＝＋i.‎ ‎∵ω∈R，∴b－＝0.‎ ‎∵b≠0，∴a2＋b2＝1.‎ 此时ω＝‎2a，又－1<ω<2，‎ ‎∴－1<‎2a<2⇔－0.‎ ‎∴2－3‎ ‎≥2·2－3＝1.‎ 当且仅当a＋1＝，即a＝0时取“＝”号，‎ 故ω－u2的最小值为1.‎ ‎[点评]　本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向．‎ ‎ ‎